Logo Serwisu Media Nauka


Rozwiązywanie równań liniowych
z jedną niewiadomą

Oto prosty przykład rozwiązania równania liniowego:

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie: -\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0

Rozwiązanie:
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0\\{-\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}/\cdot{(-2)}}\\{x=-\frac{2}{3}}
Odpowiedź:x=-\frac{2}{3}.

Teoria Czasem równanie możemy przekształcić do postaci liniowej. Oto taki przykład:

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie: \frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}
Rozwiązanie:
Dziedziną równania jest R\backslash{\lbrace}0,1\rbrace. Możemy więc w celu uzyskania równania równoważnego dokonać mnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik ułamków:

\frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}/\cdot{x(x-1)}\\{x(1+2x)-2x(x-1)=2(x-1)}\\{x+2x^2-2x^2+2x=2x-2}\\{3x=2x-2}\\{x=-2}

Odpowiedź: x=-2.

Równanie liniowe z parametrem

Teoria Nie zawsze w równaniu liniowym jawnie zapisywane są liczby. Zamiast nich stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie.

Po co parametryzować równania? W celu uogólnienia równania i jego rozwiązania. Zamiast rozwiązywać osobno równania: x+1=0, x+2=0, x+443,225=0 można rozwiązać równanie x+m=0, otrzymać wynik x=-m i w ten oto sposób rozwiązać nie tylko wymienione tutaj równania, ale wszystkie inne w tej postaci za jednym razem!


Przykład Przykład

Równanie mx-2x=1 jest przykładem równania z parametrem o ile jest informacja, że x lub m jest niewiadomą. Równanie to można rozwiązać ze względu na x, wówczas m traktujemy jak liczbę rzeczywistą, możemy też rozwiązać to równanie ze względu na m, a x traktować jako parametr.

1) Rozwiążemy to równanie ze względu na x.

mx-2x=1\\{x(m-2)=1}
Teraz mogą wystąpić różne przypadki.
Jeżeli m-2\neq{0}\Leftrightarrow{m\neq{2}}, możemy dokonać przekształcenia:
x(m-2)=1/:(m-2)\\{x=\frac{1}{m-2}}

Jeżeli m-2=0\Leftrightarrow{m=2}, mamy do czynienia z równaniem sprzecznym:
x\cdot{0=1}\\{0=1}

Równanie ma jedno rozwiązanie x_0=\frac{1}{m-2} dla m\neq{2} oraz nie ma rozwiązań w przypadku, gdy m=2.

2) Rozwiążemy to równanie ze względu na m. Zatem x traktujemy jak zwykłą liczbę.

mx-2x=1\\{mx=1+2x}
Dla x różnego od zera mamy jedno rozwiązanie m_0=\frac{1+2x}{x}, natomiast dla x=0 równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

Teoria Czasem równanie wygląda groźnie ze względu na parametry, których może być wiele w równaniu, jednak jeżeli tylko mamy do czynienia z równaniem liniowym, rozwiązanie takiego równania nie powinno być trudne.

Przykład Przykład

Przykład takiego równania z parametrami a i b jest w rzeczywistości łatwy do rozwiązania:
\sqrt{a^2+1}+\frac{x}{2}-b^4=\log_2{a-b}\\{\frac{1}{2}x=\log_2{a-b}-\sqrt{a^2+1}+b^4/\cdot{2}}\\{x=2\log_2{a-b}-2\sqrt{a^2+1}+2b^4}

Zadania z treścią

Teoria Osobną grupę zadań stanowią zadania z treścią. Najważniejsze w procesie rozwiązywania takich zadań jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie zdania logicznego wypowiadanego w treści zadania za pomocą równania. Poniżej kilka przykładów:

Przykład Przykład

Jeśli dodamy do siebie wiek Janka, który jest o rok starszy od Krzysia do wieku Krzysia, to otrzymamy liczbę 15. W jakim wieku są chłopcy?

Oznaczamy i opisujemy niewiadome:
x - wiek Janka,
x-1 - wiek Krzysia (Krzyś jest młodszy o rok)

Zapisujemy wypowiedziane w treści zdanie logiczne (suma lat chłopców jest równa 15)
x+(x-1)=15\\{2x-1=15}\\{2x=16/:2}\\{x=8}\\{x-1=7}

Odpowiedź: Janek ma 8 lat, a Krzyś 7.


Przykład Przykład

Jaką kwotę musi Janek przelać na lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku, aby po roku czasu stać go było na zakup roweru, który kosztuje 1200 zł?

x - kwota kapitału.

Układamy równanie: kwota kapitału i kwota odsetek po roku czasu musi być równa 1200 zł.
x+x\cdot{5%}=1200\\{x+\frac{5}{100}x=1200}\\{\frac{105}{100}x=1200/\cdot{\frac{100}{105}}}\\{\frac{100/105}}\\{x=\frac{120000}{105}}\\{x\approx{1142,86}}

Odpowiedź: Aby Janek mógł kupić rower za 1200 zł musi włożyć na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% kwotę 1142,86 zł.


© Media Nauka, 2009-06-24, ART-246



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 267 - równanie liniowe
Rozwiązać równanie:
a) 5x-3=7x+8
b) \sqrt{2}x+1=x+\sqrt{2}
c) \frac{1}{2}x-\frac{3}{7}=\frac{x}{2}-2

zadanie - ikonka Zadanie 270 - równanie liniowe
Rozwiązać równanie (x-2)^2=(x+2)^2

zadanie - ikonka Zadanie 271 - równanie liniowe
Rozwiązać równanie \frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}

zadanie - ikonka Zadanie 272 - równanie liniowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem równania x-m+1=3x-2 jest liczba 2?

zadanie - ikonka Zadanie 273 - równanie liniowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{x}{m-2}+m=5 ze względu na zmienną x.

zadanie - ikonka Zadanie 274 -równanie liniowe - zadanie z treścią
Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?

zadanie - ikonka Zadanie 275 - równanie liniowe - zadanie z treścią
Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?

zadanie - ikonka Zadanie 791 - Zadanie z treścią (źródło - Internet)
Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy". Jaką długość ma szczupak?



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy