Schemat Bernoulliego

Próby Bernoulliego

Niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, gdy:

Przykłady

Przykłady prób Bernoulliego:

  • Rzut monetą: sukces — wyrzucenie orła, porażka — wyrzucenie reszki.
  • Rzut kością: sukces — wyrzucenie sześciu oczek, porażka — niewyrzucenie sześciu oczek.
  • Losowanie sztuk towaru ze zwracaniem: sukces — wylosowano dobry produkt, porażka — wylosowano wadliwy produkt.
  • Obserwacja płci noworodków: sukces — płeć żeńska, porażka — płeć męska.

Nazwanie danego zdarzenia sukcesem lub porażką jest kwestią umowną, zależną od warunku zadania.

Nie każde doświadczenie jest próbą Bernoulliego. Dla przykładu losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.

Schemat \(n\) prób Bernoulliego jest to ciąg \(n\) niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyniku poprzednich prób i nie wpływa na wynik następnych prób.

Przykład

Przykłady schematów Bernoulliego:

  • \(n\)-krotne strzelanie do celu.
  • \(n\)-krotny rzut kostką do gry.
  • \(n\)-krotny dwukrotny rzut monetą.

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego o \(n\) próbach sukces pojawi się dokładnie \(k\) razy (\(P(S_n=k), \ 0\leq k\leq n\)) określone jest wzorem:

\(P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\)

\(p+q=1\)

Przykład

Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w balonik wynosi \(\frac{1}{3}\). Do celu oddano 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafiono:

a) 2 razy.
b) Co najmniej raz.
c) Co najwyżej raz.

Przez sukces rozumiemy trafienie do celu w pojedynczym strzale. Mamy więc: \(p=\frac{1}{3},\ q=\frac{2}{3}\), natomiast \(S_{10}\) oznacza liczbę celnych strzałów spośród 10 strzałów. Mamy więc:

a) \(P(S_{10}=2)={10\choose 2}(\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{2}{3})^8=\)

\(=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=\)

\(=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=5\cdot \frac{256}{6561} \approx 0,195\)

b) Przy obliczaniu prawdopodobieństwa trafienia co najmniej raz, skorzystamy z własności ogólnej prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe różnicy liczby \(1\) i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do \(A\):

\(P(S_{10}\geq 1)=1-P(S_{10}\leq 1)=1-P(S_{10}=0)=\)

\(=1-{10\choose 0}(\frac{1}{3})^0\cdot (\frac{2}{3})^{10}=\)

\(=1-\frac{10!}{0!10!}\cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}}=1- \frac{1024}{59049} \approx 0,98\)

c) Trafienie co najwyżej raz oznacza trafienie raz lub zero razy.

\(P(S_{10}\leq 1)=P(S_{10}=0)+P(S_{10}=1) =\frac{1024}{59049}+{10\choose 1}(\frac{1}{3})^1\cdot (\frac{2}{3})^9=\)

\( =\frac{1024}{59049}+\frac{10!}{1!9!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2^9}{3^9}=\)

\(=\frac{1024}{59049}+\frac{5120}{59049}=\frac{6144}{59049}\approx 0,1\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:

a) 4 bramki

b) co najmniej 5 bramek

c) mniej niż 3 bramki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-08-13, A-1417
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-24



©® Media Nauka 2008-2023 r.