Logo Serwisu Media Nauka


Symetria środkowa

Definicja Definicja

Symetria środkowa względem punktu O nazywanego środkiem symetrii jest to przekształcenie płaszczyzny polegające na tym, że punkt O jest punktem niezmienniczym tego przekształcenia, a obrazem dowolnego innego punktu A jest punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka \overline{AA'}.

Poniższa animacja ilustruje symetrię środkową na przykładzie szukania obrazu punktu A w tym przekształceniu.


Teoria Symetrię osiową względem punktu O oznaczamy następująco: S_O, natomiast zapis S_O(A)=A' czytamy w następujący sposób: "Obrazem punktu A w symetrii środkowej jest punkt A'".

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

symetria środkowa

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako obrót o kąt półpelny

Symetria środkowa - ujęcie analityczne

Teoria W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=(-x')^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1


© Media Nauka, 2010-11-21, ART-1021



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 708 - symetria środkowa
Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

zadanie - ikonka Zadanie 709 - symetria środkowa
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

zadanie - ikonka Zadanie 710 - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7).

zadanie - ikonka Zadanie 711 - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=x3-x2 w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 20, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są punkty M = (-2,1) i N = (-1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. K'=(2,-3/2)
B. K'=(2,3/2)
C. K'=(3/2,2)
D. K'=(3/2,-2)



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy