Teoria

Oscylator wymuszony z tłumieniem opisuje równanie \( a = -\omega_0^2 x - 2\beta v + a_F\cos(\omega t) \), gdzie \( \omega_0 = 2\pi f_0 \) to częstość drgań własnych, a \( \omega = 2\pi f \) — częstość siły wymuszającej.

Po wygaśnięciu stanu przejściowego amplituda drgań ustalonych wynosi \( A(\omega) = \dfrac{a_F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}} \), a drgania są opóźnione względem siły o przesunięcie fazowe \( \varphi \), spełniające \( \operatorname{tg}\varphi = \dfrac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \). Dla \( \omega = \omega_0 \) przesunięcie wynosi dokładnie \( 90^\circ \) — siła jest wtedy zgodna w fazie z prędkością, więc przez cały cykl wykonuje pracę dodatnią i przekaz energii jest największy.

Przy tłumieniu \( \beta > 0 \) maksimum amplitudy przypada nie dokładnie na \( \omega_0 \), lecz na częstość rezonansową \( \omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \) (dla małego tłumienia \( \omega_r \approx \omega_0 \)). Im mniejsze \( \beta \), tym wyższy i węższy pik rezonansowy — to jest rezonans.

Huśtawka pokazuje to samo zjawisko w wersji impulsowej. Popychający działa jak metronom: pcha rytmicznie, zawsze w tę samą stronę, niezależnie od tego, gdzie akurat jest huśtawka. Najsilniejszy rezonans występuje, gdy okres popychania zgadza się z okresem własnym \( T_0 = 2\pi\sqrt{\tfrac{L}{g}} \). Krótkie popchnięcia zawierają jednak także wyższe harmoniczne, dlatego słabsze maksima amplitudy pojawiają się również przy \( T_p \approx 2T_0, 3T_0, \ldots \) — to popychanie „co drugie" lub „co trzecie" wahnięcie. Przy okresach niezgodnych z żadną z tych wartości część popchnięć trafia „pod ruch" i go hamuje, więc amplituda pozostaje mała.

Wzór na \( T_0 \) obowiązuje dla małych wychyleń. Symulacja rozwiązuje pełne równanie z \( \sin\theta \), więc przy dużych amplitudach okres huśtawki naturalnie się wydłuża (anharmoniczność) i huśtawka sama „odstraja się" od rytmu popchnięć — to jeden z mechanizmów ograniczających wzrost amplitudy.