Symulacja — fala mechaniczna

Kulki połączone sprężynami — mechanizm fali mechanicznej

ks v3.0

Ta symulacja pokazuje, jak powstaje i rozchodzi się fala mechaniczna — zaczynając od jej mikroskopowego mechanizmu. Ośrodek sprężysty jest tu modelowany wprost: jako zbiór kulek (cząstek) połączonych sprężystymi wiązaniami — w ruchu podłużnym są to zwykłe sprężyny, a w ruchu poprzecznym i w membranie odpowiednik napiętej struny lub błony. Ten sam model oglądasz w trzech zakładkach: w jednym wymiarze (łańcuch — jak struna albo długa sprężyna zabawkowa), w dwóch (membrana — jak naciągnięta błona bębna lub trampolina) i w trzech (sieć przestrzenna — jak uproszczony kryształ). Wychylenie jednej kulki, za pośrednictwem sprężyn, wprawia w ruch sąsiednie — i właśnie to wędrujące zaburzenie jest falą.

Symulacja — fala mechaniczna - Medianauka.pl — symulacja interaktywna

Fala mechaniczna nie przenosi materii — przenosi zaburzenie. Model pokazuje jej mikroskopowy mechanizm: każda kulka jest połączona sprężynami z sąsiadkami, więc wychylenie jednej z nich pociąga następne. Ruch pojedynczej kulki opisuje II zasada dynamiki \( m\,\ddot{u}_i = k\,(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) - b\,\dot{u}_i \), a złożenie ruchów wszystkich kulek daje falę biegnącą z prędkością \( v = a\sqrt{k/m} \), gdzie \( a \) to odległość między kulkami.

W łańcuchu 1D porównaj ruch poprzeczny (kulki drgają w poprzek łańcucha) z podłużnym (drgają wzdłuż — powstają zagęszczenia i rozrzedzenia, jak w fali dźwiękowej). Impuls odbija się od końca zamocowanego z odwróceniem wychylenia, a od swobodnego — bez odwrócenia. Membrana 2D i sieć 3D pokazują ten sam mechanizm w większej liczbie wymiarów: gęsta sieć mas i sprężyn zachowuje się jak ośrodek ciągły.

Łańcuch dyskretny jest dyspersyjny: relacja \( \omega = 2\sqrt{\frac{k}{m}}\left|\sin\frac{qa}{2}\right| \) oznacza, że wzór \( v = a\sqrt{k/m} \) opisuje prędkość tylko w granicy fal długich (\( \lambda \gg a \)). Dla najkrótszej możliwej fali, \( \lambda = 2a \), prędkość grupowa spada do zera, a częstotliwość osiąga wartość odcięcia \( f_{\max} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \) — drgań szybszych łańcuch w ogóle nie przenosi. To realna cecha ośrodków o budowie ziarnistej, np. sieci krystalicznych.

Uwagi o idealizacjach: ruch poprzeczny w 1D oraz membrana 2D są modelami zlinearyzowanymi — siła zależy liniowo od różnic wychyleń poprzecznych, co odpowiada napiętej strunie i napiętej membranie, a nie płaskiej sieci nienaprężonych sprężyn (taka nie dawałaby liniowej siły poprzecznej). Wychylenia poprzeczne są fizycznie małe, a na ekranie powiększone około dziesięciokrotnie. Pełną, nieliniową geometrię sprężyn stosuje sieć 3D: oprócz sprężyn osiowych zawiera sprężyny po przekątnych ścian o sztywności \( k/2 \), które nadają jej sztywność ścinania i sprawiają, że zaburzenie rozchodzi się w przybliżeniu izotropowo (resztkowa kierunkowość wynika z symetrii kubicznej). Sieć utrzymują wyłącznie zamocowane narożniki — bez sztucznych sprężyn kotwiczących.

Instrukcja obsługi

Zakładki u góry przełączają wymiar modelu: łańcuch 1D, membrana 2D, sieć 3D.
Suwaki \( k \), \( m \), \( b \) działają we wszystkich zakładkach i można je zmieniać w trakcie ruchu.
Impuls wysyła pojedyncze, gładkie zaburzenie: w 1D z czerwonego wzbudnika, w 2D i 3D ze środka układu.
W 1D możesz przeciągnąć myszą dowolną kulkę (także wzbudnik) i puścić. W 2D krótkie tapnięcie pobudza wskazaną kulkę, a przeciągnięcie obraca scenę (kółko — zbliżenie). W 3D przeciągnięcie obraca sieć, kółko lub dwa palce zbliżają.
Klawiatura: po ustawieniu fokusu na płótnie (Tab) strzałki obracają scenę w 2D i 3D, +/− przybliżają i oddalają, a Enter lub spacja wysyła impuls.
Pauza/Start zatrzymuje i wznawia ruch, Od nowa zeruje wszystkie trzy modele.

Ćwiczenia i obserwacje

W zakładce 1D naciśnij Impuls. Obserwuj: garb wędruje wzdłuż łańcucha (szerokie zaburzenie porusza się w przybliżeniu ze stałą prędkością, choć dyspersja z wolna zmienia jego kształt), ale każda kulka po przejściu fali wraca na swoje miejsce — fala przenosi zaburzenie i energię, a nie materię.
Zwiększ sztywność \( k \) i wyślij impuls ponownie, potem zwiększ masę \( m \). Obserwuj: większe \( k \) przyspiesza falę, większe \( m \) ją spowalnia. Porównaj to z odczytem \( v = a\sqrt{k/m} \) pod symulacją — zmierz w przybliżeniu czas przejścia impulsu przez łańcuch i sprawdź zgodność.
Przy końcu zamocowanym wyślij impuls i poczekaj na powrót. Obserwuj: odbity garb wraca po przeciwnej stronie linii równowagi (odbicie z odwróceniem wychylenia). Przełącz na koniec swobodny i powtórz — garb wraca po tej samej stronie.
Przełącz na ruch podłużny i naciśnij Impuls. Obserwuj: zamiast garbu wędruje strefa zagęszczenia i rozrzedzenia kulek (porównuj z szarymi znacznikami położeń równowagi) — tak rozchodzi się dźwięk w powietrzu.
Ustaw tłumienie \( b = 0 \) i wyślij impuls, po chwili stopniowo zwiększaj \( b \). Obserwuj: bez tłumienia fala krąży po łańcuchu bez utraty amplitudy, z tłumieniem amplituda maleje z każdym przebiegiem.
Przeciągnij pojedynczą kulkę w środku łańcucha i puść. Obserwuj: powstają dwa jednakowe impulsy biegnące w przeciwne strony — zaburzenie punktowe rozchodzi się symetrycznie.
Przejdź do zakładki 2D i tapnij kulkę na środku membrany. Obserwuj: fala rozchodzi się kołowo, a jej amplituda maleje z odległością od źródła, bo ta sama energia rozkłada się na coraz dłuższy okrąg.
Obróć kamerę 2D nisko, niemal z boku — zobaczysz profil fali jak na wykresie \( u(x) \). Potem spójrz niemal z góry — zobaczysz współśrodkowe okręgi frontów falowych.
Tapnij szybko dwa różne miejsca membrany. Obserwuj: dwie fale kołowe przechodzą przez siebie i biegną dalej bez zmiany kształtu, a w miejscach spotkania wychylenia chwilowo się sumują — to zasada superpozycji i interferencja.
W zakładce 3D naciśnij Impuls i obracaj scenę. Obserwuj: zaburzenie rozchodzi się ze środka we wszystkich kierunkach jednocześnie (front w przybliżeniu kulisty) i odbija się wewnątrz sieci — tak drgania przenoszą się w ciele stałym.

Symulacje z fizyki

Zobacz wszystkie symulacje z fizyki dostępne w naszym serwisie.