Interferencja fal z dwóch spójnych źródeł — symulacja

Model: analityczne przybliżenie superpozycji dwóch harmonicznych fal cylindrycznych: \( u(\mathrm{P},t) = \dfrac{A_1}{\sqrt{r_1}}\sin(kr_1-\omega t) + \dfrac{A_2}{\sqrt{r_2}}\sin(kr_2-\omega t+\Delta\varphi) \), gdzie \( r_1, r_2 \) — odległości punktu \( \mathrm{P} \) od źródeł \( \mathrm{Z}_1 \) i \( \mathrm{Z}_2 \), \( k = 2\pi/\lambda \) — liczba falowa, \( \omega \) — częstość kołowa. Oba źródła drgają z tą samą częstotliwością, więc są spójne — ich różnica faz \( \Delta\varphi \) jest stała w czasie. Amplituda fali kołowej maleje jak \( 1/\sqrt{r} \); w promieniu \( r < 3\,\mathrm{mm} \) od źródła odległość jest w obliczeniach zastępowana wartością \( 3\,\mathrm{mm} \) (regularyzacja osobliwości \( 1/\sqrt{r} \)). Pole jest próbkowane na siatce co \( 1\,\mathrm{mm} \) i skalowane do rozmiaru rysunku. Symulacja nie rozwiązuje numerycznie równania falowego, więc nie występują w niej artefakty metod różnicowych — widoczne wzory wynikają wyłącznie z superpozycji przyjętego modelu fal. W trakcie rozchodzenia się frontów (po starcie i po „Od nowa”) wykres natężenia jest przybliżeniem opartym na chwilowych amplitudach obwiedni; po ustaleniu pola pokazuje ścisłą średnią czasową \( \langle u^2 \rangle \).

Warunki interferencji (dla źródeł zgodnych w fazie, \( \Delta\varphi = 0 \)): wzmocnienie \( |r_2-r_1| = m\lambda \), wygaszenie \( |r_2-r_1| = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda \), \( m = 0, 1, 2, \ldots \) Linie stałej różnicy dróg \( r_2-r_1 \) są hiperbolami o ogniskach w źródłach — możesz je nałożyć na obraz przyciskiem „Linie wzmocnień i wygaszeń”. Daleko od źródeł maksima wypadają w kierunkach \( \sin\theta_m = m\lambda/d \). Oznaczenia: \( \lambda \) — długość fali, \( d \) — odległość źródeł, \( \Delta\varphi \) — różnica faz drgań źródeł, \( \theta_m \) — kąt (liczony od symetralnej odcinka \( \mathrm{Z}_1\mathrm{Z}_2 \)), pod którym występuje \( m \)-te wzmocnienie, \( m \) — rząd wzmocnienia/wygaszenia. Dla \( \Delta\varphi \ne 0 \) warunek wzmocnienia przechodzi w \( r_2-r_1 = \left(m - \tfrac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda \), a kierunki w \( \sin\theta_m = \left(m - \tfrac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda/d \) (kąt dodatni w stronę \( \mathrm{Z}_1 \)). Wykres natężenia pokazuje \( \langle u^2 \rangle \) na ekranie, znormalizowane do bieżącego maksimum — oddaje kształt rozkładu, nie bezwzględną energię.