Symulacja

Poniższy program pokazuje rozkład Maxwella — statystyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w stanie równowagi termodynamicznej. Cząsteczki od początku mają losowe prędkości wylosowane dokładnie z rozkładu Maxwella–Boltzmanna (nie trzeba więc czekać, aż „się do niego dojdzie” — histogram już na starcie przypomina teoretyczną krzywą, choć przy małej liczbie cząsteczek widoczny jest szum statystyczny). Histogram jest liczony na bieżąco z rzeczywistych prędkości symulowanych cząsteczek i nałożony na teoretyczną krzywą — możesz porównywać je gołym okiem albo liczbowo w tabeli poniżej.

Doświadczenia z wykorzystaniem symulacji

Obserwuj histogram przez dłuższą chwilę przy różnych ustawieniach (im więcej cząsteczek, tym mniej szumu statystycznego i tym dokładniej histogram pokrywa się z krzywą teoretyczną). Spróbuj odpowiedzieć na pytania:

Jak zmiana temperatury wpływa na kształt i położenie rozkładu prędkości?
Jak zmiana masy cząsteczki wpływa na rozkład prędkości — a jak na rozkład energii kinetycznej?
Czy rozkład prędkości jest symetryczny względem wartości najbardziej prawdopodobnej?

Teoria: rozkład Maxwella (rozwiń)

Skąd bierze się rozkład prędkości

W gazie złożonym z ogromnej liczby cząsteczek zderzających się przypadkowo, prędkości poszczególnych cząsteczek nieustannie się zmieniają, ale statystyczny rozkład tych prędkości w stanie równowagi termodynamicznej jest stabilny i dobrze znany — to właśnie rozkład Maxwella. Każda ze składowych prędkości (\(v_x\), \(v_y\), \(v_z\)) ma rozkład normalny (Gaussa) wokół zera, a to, jak „szeroki” jest ten rozkład, zależy od temperatury i masy cząsteczki. Moduł prędkości \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\) ma wtedy rozkład:

\( f(v) = 4\pi N\left(\dfrac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2\, e^{-mv^2/2kT} \)

gdzie \(N\) to liczba cząsteczek, \(m\) — masa cząsteczki, \(T\) — temperatura, a \(k\) — stała Boltzmanna (w tej symulacji przyjmujemy \(k=1\), więc suwak „Temperatura” ustawia bezpośrednio iloczyn \(kT\)). Z tego wzoru wynikają trzy charakterystyczne prędkości:

najbardziej prawdopodobna \( v_p=\sqrt{2kT/m} \) — maksimum krzywej,
średnia \( \overline{v}=\sqrt{8kT/\pi m} \),
skuteczna (RMS) \( v_{\text{rms}}=\sqrt{3kT/m} \) — związana ze średnią energią kinetyczną.

Zawsze zachodzi \(v_p<\overline{v}

Rozkład energii kinetycznej

Podstawiając \(E=\tfrac12 mv^2\) do powyższego wzoru, otrzymuje się rozkład energii kinetycznej:

\( f(E) = \dfrac{2N}{\sqrt{\pi}}\,(kT)^{-3/2}\,\sqrt{E}\;e^{-E/kT} \)

Zaskakujący wniosek: wzór na \(f(E)\) w ogóle nie zawiera masy \(m\)! Rozkład energii kinetycznej zależy wyłącznie od temperatury — przy tej samej temperaturze cięższe i lżejsze cząsteczki mają taki sam rozkład energii (i tę samą średnią energię \(\overline{E}=\tfrac32 kT\), niezależnie od masy), mimo że ich rozkłady prędkości wyraźnie się różnią — cięższe cząsteczki po prostu muszą poruszać się wolniej, żeby mieć tyle samo energii co lżejsze. Możesz to sprawdzić w tej symulacji: zmieniaj suwak „Masa cząsteczki” i porównuj zakładki „Prędkość” i „Energia kinetyczna”.

Jak czytać suwaki i ustawienia symulacji

Suwak „Temperatura (kT)” steruje umowną wielkością energetyczną wprost odpowiadającą iloczynowi stałej Boltzmanna i temperatury (przyjmujemy \(k=1\), więc liczba na suwaku to po prostu \(kT\) w umownych jednostkach) — nie jest to skalibrowana temperatura w kelwinach. Średnica cząsteczki wpływa tylko na to, jak często zachodzą zderzenia, nie na kształt rozkładu w stanie równowagi.

„Stała skala osi” utrzymuje tę samą oś liczbową niezależnie od suwaków T i masy, dzięki czemu widać, jak przesuwa się i poszerza krzywa (do tego służą zadania 2–3); odznacz ją, żeby zamiast tego oś zawsze dopasowywała się do bieżących ustawień i pokazywała maksimum krzywej możliwie duże niezależnie od parametrów (uniwersalny kształt rozkładu, ale bez możliwości porównania skali między ustawieniami).

Zmiana masy lub temperatury natychmiast przelicza prędkości tak, aby układ reprezentował nowy stan równowagi — to nie jest symulacja fizycznego procesu ogrzewania, chłodzenia ani wymiany energii z otoczeniem w czasie (nie ma tu „termostatu” ani okresu dochodzenia do równowagi). „Czas animacji” nadal biegnie po takiej zmianie, bo mierzy po prostu czas trwania animacji, a nie czegoś w rodzaju „wieku” bieżącego stanu równowagi.

Zadania

Ustaw domyślne wartości i porównaj histogram prędkości z krzywą teoretyczną. Zaobserwuj: czy histogram jest symetryczny względem swojego maksimum, czy przesunięty? Porównaj w tabeli kolumnę „Teoretyczna”: zachodzi tam \(v_p<\overline{v}
Upewnij się, że zaznaczone jest „Stała skala osi” (domyślnie tak), a następnie zmieniaj tylko „Temperaturę (kT)” (np. na małą i na dużą wartość), obserwując zakładkę „Prędkość”. Zaobserwuj: jak zmienia się położenie maksimum i szerokość krzywej? Czy przy wyższej temperaturze rozkład jest węższy, czy szerszy? (Ta obserwacja ma sens tylko przy zaznaczonej „Stałej skali osi” — w trybie autoskali oś zawsze dopasowuje się na nowo i różnicy nie zobaczysz.)
Wróć do wartości domyślnych (nadal ze „Stałą skalą osi”), a następnie zmieniaj tylko „Masę cząsteczki”, porównując za każdym razem obie zakładki. Zaobserwuj: jak zmiana masy wpływa na zakładkę „Prędkość”? A jak na zakładkę „Energia kinetyczna”? Czy potwierdza to wniosek z ramki w teorii?
Zmniejsz „Liczbę cząsteczek” do minimum, a następnie zwiększ do maksimum, za każdym razem obserwując histogram przez chwilę. Zaobserwuj: przy której liczbie cząsteczek histogram wygląda na „poszarpany” (duży szum statystyczny), a przy której gładko pokrywa się z krzywą teoretyczną? Dlaczego duża próbka daje dokładniejszy obraz rozkładu?

Symulacje z fizyki

Zobacz wszystkie symulacje z fizyki dostępne w naszym serwisie.