Ćwiczenia do samodzielnego wykonania

1. Przewidywanie znaku \(\Delta S_{A\to B}\). Zanim klikniesz "Usuń przegrodę", zastanów się: czy \(\Delta S_{A\to B}\) będzie dodatnie, ujemne, czy zero? Odpowiedź uzasadnij bez patrzenia na panel — potem kliknij przycisk i sprawdź panel "Przewidywania teoretyczne". Co zaobserwujesz: \(\Delta S_{A\to B}\) zawsze wychodzi dodatnie (dla dowolnego \(N\) i dowolnej frakcji \(V_A/V_{całk}<1\)) — stan równowagi B ma dostępną większą objętość niż stan A, więc więcej dostępnych mikrostanów, niezależnie od szczegółów układu.
2. Przewidywanie natychmiastowe, ale nie skok fizyczny. Ustaw \(N=200\), usuń przegrodę i obserwuj jednocześnie panel "Przewidywania teoretyczne" oraz górny wykres (\(\Delta S_{cg}/k\) na żywo). Co zaobserwujesz: liczby w panelu "Przewidywania teoretyczne" pojawiają się natychmiast po kliknięciu i już się nie zmieniają — bo zależą tylko od \(N,V_A,V_B\), a te są znane od razu. Krzywa \(\Delta S_{cg}/k\) na wykresie zachowuje się inaczej: startuje blisko zera i rośnie stopniowo, w tempie zbliżonym do dolnego wykresu mieszania — bo mierzy rzeczywisty, bieżący rozkład cząsteczek, a nie gotowe przewidywanie. To ważne rozróżnienie: znać wynik z góry (bo zależy tylko od geometrii) to nie to samo, co twierdzić, że entropia fizycznie już go osiągnęła.
3. \(Q=0\), \(W_{mech}=0\), a jednak \(\Delta S>0\). Sprawdź panel kontrolny: \(\Delta E/E_A\) powinno pozostawać blisko zera przez cały eksperyment. Co zaobserwujesz: energia gazu się nie zmienia (nie ma ścianki termicznej ani ruchomego tłoka, które mogłyby coś dostarczyć lub odebrać) — a mimo to entropia rośnie. To bezpośredni dowód, że wzrost entropii nie wymaga wymiany energii z otoczeniem; wystarczy nieodwracalność samego procesu.
4. Wpływ frakcji początkowej. Ustaw suwak \(V_A/V_{całk}\) najpierw blisko 90% (gaz zajmował prawie cały zbiornik), zresetuj, usuń przegrodę i zanotuj \(\Delta S_{A\to B}\) z panelu przewidywań teoretycznych. Potem ustaw suwak blisko 10% i powtórz. Co zaobserwujesz: im mniejsza początkowa frakcja \(V_A/V_{całk}\) (czyli im większy stosunek \(V_B/V_A\)), tym większe \(\Delta S_{A\to B}\) — zgodnie ze wzorem \(N\ln(V_B/V_A)\), który rośnie, gdy stosunek objętości rośnie.
5. Wpływ liczby cząsteczek \(N\). Przy tej samej frakcji \(V_A/V_{całk}\) (np. 50%) porównaj \(\Delta S_{A\to B}\) dla \(N=50\) i \(N=400\). Co zaobserwujesz: \(\Delta S_{A\to B}\) rośnie liniowo z \(N\) — dwukrotnie więcej cząsteczek przy tym samym stosunku objętości daje w przybliżeniu dwukrotnie większe \(\Delta S_{A\to B}\). Entropia jest wielkością ekstensywną: zależy od ilości gazu, nie tylko od jego "stanu na cząsteczkę".
6. Dwa różne modele mikroskopowe, jeden wynik tylko w granicy rozcieńczonej. Ustaw \(N=400\) i frakcję \(V_A/V_{całk}=0,1\) (najmniejszą dostępną). Usuń przegrodę i zanotuj \(\Delta S/k\) "model sieciowy" oraz "ciągły gaz doskonały" — powinny się wyraźnie różnić. Teraz, bez zmiany \(N\) ani frakcji, przesuń suwak "Rozdzielczość siatki mikrostanów" po kolei przez wszystkie cztery poziomy (to zrobi pełny reset — musisz za każdym razem usuwać przegrodę ponownie). Co zaobserwujesz: "ciągły gaz doskonały" i "makroskopowo" nie zmieniają się wcale — nie zależą od siatki. Ale "model sieciowy" zmienia się wyraźnie (przy \(N=400\), \(V_A/V_{całk}=0,1\) może to być różnica rzędu 100 jednostek między najniższą a najwyższą rozdzielczością) — mimo że to dosłownie ten sam fizyczny eksperyment! To pokazuje, dlaczego słowo "dokładnie" przy tej liczbie byłoby mylące: model sieciowy nie jest "dokładniejszą" wersją gazu ciągłego — to inny, samodzielny model (gaz sieciowy z twardym rdzeniem, wykluczenie ≤1 cząsteczka na komórkę), którego wynik zależy od dowolnego wyboru siatki i tylko w granicy \(M\gg N\) zbliża się do gazu ciągłego. Fizyczna entropia gazu doskonałego (kolumny "ciągły gaz doskonały" i "makroskopowo") nie ma tej arbitralności.
7. Prędkość mieszania a przewidywanie teoretyczne. Zresetuj, ustaw bardzo małą prędkość cząsteczek (suwak "Prędkość cząsteczek" blisko minimum), usuń przegrodę i obserwuj powolne mieszanie — zwróć uwagę, jak wolno rośnie teraz \(\Delta S_{cg}/k\) na żywo. Zresetuj ponownie z tymi samymi \(N\) i frakcją, ale dużą prędkością cząsteczek. Co zaobserwujesz: krzywa \(\Delta S_{cg}/k\) na żywo rośnie wyraźnie szybciej przy dużej prędkości cząsteczek — bo mierzy rzeczywisty postęp mieszania, a to fizycznie zależy od prędkości. Liczby w panelu "Przewidywania teoretyczne" wychodzą za to identyczne w obu przypadkach — nie zależą od prędkości cząsteczek, tylko od geometrii (\(N\), \(V_A\), \(V_B\)). To dobrze pokazuje różnicę między tymi dwoma wielkościami: jedna opisuje fizyczny proces w czasie, druga — różnicę między stanami równowagi, niezależną od tego, jak szybko się do niej dochodzi.
8. Nieodwracalność — czym jest, a czym nie jest przycisk "Przywróć stan A". Po usunięciu przegrody i wymieszaniu gazu kliknij "↺ Przywróć przegrodę (stan A)". Ten przycisk nie cofa czasu w sensie mechaniki — po prostu kopiuje wcześniej zapisane pozycje i prędkości z powrotem do symulacji (jak wczytanie zapisu gry). To spontaniczna, samoistna ewolucja układu nigdy by tego nie zrobiła. Co zaobserwujesz: przycisk natychmiast przywraca stan A (to tylko kopiowanie zapisanych liczb), ale gdybyś zamiast klikać, tylko czekał i obserwował swobodną ewolucję układu, samoistny powrót wszystkich cząsteczek do lewej połowy byłby dozwolony przez mikroskopowe równania ruchu (są symetryczne w czasie), lecz astronomicznie mało prawdopodobny — dla większego \(N\) tym bardziej. To jest właściwy sens nieodwracalności: nie "fizycznie niemożliwe", tylko "przytłaczająco nieprawdopodobne".
9. Próba odwrócenia mikrodynamiki: odwrócenie prędkości. Usuń przegrodę i poczekaj, aż gaz się częściowo wymiesza (np. do ok. 30–50% na wykresie mieszania). Kliknij "⟲ Odwróć prędkości" — to, w odróżnieniu od poprzedniego przycisku, jest prawdziwym eksperymentem fizycznym: każdej cząsteczce zamienia \(v \to -v\) w bieżącej chwili i pozwala dynamice biec dalej tymi samymi równaniami zderzeń sprężystych, które w idealnym przypadku (bez błędów numerycznych) byłyby odwracalne w czasie. Co zaobserwujesz: tuż po odwróceniu gaz przez chwilę wygląda, jakby się "cofał" — częściowo wraca w stronę lewej połowy. Ale to cofanie nie jest ani trwałe, ani dokładne, i to z dwóch powodów naraz: (1) prawdziwej czułości fizycznej na zaburzenia (jak w chaosie deterministycznym — drobna niedokładność, także w prawdziwym gazie, rosłaby wykładniczo z każdym kolejnym zderzeniem), oraz (2) tego, że sam algorytm zderzeń w tej symulacji nie jest idealnie symetryczny względem odwrócenia czasu — cząstki są najpierw przesuwane, dopiero potem sztucznie rozsuwane przy wykrytym nałożeniu, więc ta kolejność kroków numerycznych sama wprowadza małą asymetrię, zanim w ogóle dojdzie do fizycznego chaosu. Im dłużej poczekałeś przed kliknięciem, tym więcej zdążyło się zdarzyć zderzeń, więc tym mniej dokładny i krótszy będzie "powrót". Sedno paradoksu Loschmidta zostaje: mikroskopowa odwracalność równań ruchu nie przeczy makroskopowej nieodwracalności — w praktyce nie da się przygotować idealnie odwróconego stanu ani utrzymać go odpornym na najmniejsze zaburzenia (tu: zarówno fizyczne, jak i te pochodzące z samego schematu numerycznego).