„Magiczne koło” — czy da się zbudować perpetuum mobile?

Od średniowiecza wynalazcy projektowali koła z ciężarkami, które miały obracać się wiecznie i za darmo napędzać maszyny. Intuicja podpowiada: „jeśli po prawej stronie ciężarki będą dalej od osi, to prawa strona pociągnie mocniej i koło się rozkręci”. Sprawdź to! Przesuwaj ciężarki, zakręć kołem i spróbuj znaleźć ustawienie, przy którym koło nie zatrzyma się nigdy.

Moment siły ciężkości działającej na pojedynczy ciężarek względem osi obrotu wynosi \( M = F \cdot r_\perp = m g \, r_\perp \), gdzie \( r_\perp \) to ramię siły — pozioma odległość ciężarka od pionowej prostej przechodzącej przez oś. Na wykresie obok koła porównujemy sumę momentów lewych \( M_L \) (obracają koło w lewo, ↺) i prawych \( M_P \) (obracają w prawo, ↻) oraz moment wypadkowy \( M_{wyp} = M_L - M_P \).

PREMIUM

Część interaktywna

Ta symulacja jest dostępna w Premium

Uruchamiaj pomiary na żywo, buduj wykresy i analizuj błędy w pełnej, interaktywnej wersji.

Odblokuj w Premium

Ćwiczenia

1. Wybierz tryb „ciężarki zamocowane” i ustawienie „Prawa strona dalej”. Odczytaj \( M_L \), \( M_P \) i \( M_{wyp} \) — prawa strona rzeczywiście „ciągnie” mocniej i koło samo rusza. Zaobserwuj: po około pół obrotu te same ciężarki znajdą się po lewej stronie i moment wypadkowy zmieni znak. Koło waha się jak wahadło i zatrzymuje w położeniu o najniższej energii potencjalnej — dalekie ciężarki „na dole”, bliskie „na górze”.
2. Ustaw tarcie w łożysku na 0% i zakręć kołem. Zaobserwuj: suma \( E_k + E_p + E_{rozpr} \) pozostaje stała, a koło kręci się lub waha bez końca. Grawitacja może je chwilowo rozpędzać, ale po każdym pełnym cyklu energia wraca do tej samej wartości — koło nie zyskuje energii z cyklu na cykl. Brak tarcia nie czyni z niego perpetuum mobile: maszyna, której energia nie rośnie, nie może oddawać pracy na zewnątrz, nie zwalniając.
3. Przełącz na tryb „mechanizm ruchomy — koło Bhaskary” i zakręć kołem. Ciężarki same przesuwają się w kanałach: po stronie opadającej wysuwają się daleko od osi, po stronie unoszonej wpadają do środka. Zaobserwuj: po stronie z długimi ramionami ciężarków jest mniej, więc momenty w dużym stopniu się kompensują, a każde przesunięcie i uderzenie ciężarka o ogranicznik rozprasza energię — słupek \( E_{rozpr} \) stale rośnie i koło się zatrzymuje.
4. W trybie „ciężarki zamocowane” zakręć kołem i obserwuj odczyt „praca grawitacji za pełny obrót”. Zaobserwuj: wartość pozostaje bliska zeru, bo po obrocie o \( 2\pi \) każdy ciężarek wraca dokładnie na swoje miejsce — energia oddana przez grawitację po stronie opadającej jest w całości odbierana po stronie wznoszącej. W trybie mechanizmu ruchomego odczyt jest wyłączony: po jednym obrocie koła ciężarki są w innych położeniach, więc pełny obrót nie jest zamkniętym cyklem. Praca grawitacji netto znika dopiero w cyklu, w którym i kąt koła, i położenia wszystkich ciężarków wracają do stanu początkowego.
5. Spróbuj dowolnych własnych ustawień. Zaobserwuj: suma \( E_k + E_p + E_{rozpr} \) zmienia się tylko wtedy, gdy to ty wykonujesz pracę — zakręcasz kołem albo przesuwasz ciężarki. Układ nigdy nie wytwarza energii sam z siebie.

Dlaczego „magiczne koło” nie działa?

O obrocie koła decyduje nie odległość ciężarka od osi, lecz ramię siły ciężkości, czyli pozioma odległość \( r_\perp \) od osi. Konfiguracja, która w danej chwili daje przewagę jednej stronie, po obrocie koła sama zamienia się w konfigurację przeciwną — bo ciężarki są przecież przymocowane do koła. Ściśle: praca momentu wypadkowego jest równa ubytkowi energii potencjalnej, \( W = \oint M_{wyp}\,\mathrm{d}\varphi = -\Delta E_p \). Gdy ciężarki są zamocowane, po obrocie o \( 2\pi \) układ wraca do tej samej konfiguracji, więc \( \Delta E_p = 0 \) i \( W = 0 \). Gdy ciężarki są ruchome, ten sam wniosek dotyczy każdego zamkniętego cyklu całego mechanizmu — takiego, w którym do stanu początkowego wraca zarówno kąt koła, jak i położenia wszystkich ciężarków. Grawitacja, jako siła zachowawcza, nie może napędzać ruchu okresowego.

Mechanizmy „samoczynnie” przesuwające ciężarki (jak w kole Bhaskary z XII wieku) niczego tu nie zmieniają: strona z dłuższymi ramionami ma zawsze mniej ciężarków, a samo przesuwanie i uderzanie ciężarków o ograniczniki pochłania energię przez tarcie i zderzenia niesprężyste. Rachunek energii jest nieubłagany: \( E_k + E_p + E_{rozpr} = \mathrm{const} \), przy czym \( E_{rozpr} \) może tylko rosnąć. Każde rzeczywiste koło musi się więc zatrzymać.

Projekty takich kół tworzyli m.in. Bhaskara II, Villard de Honnecourt i wielu późniejszych konstruktorów; sceptyczny wobec nich był już Leonardo da Vinci. W 1775 roku Francuska Akademia Nauk ogłosiła, że przestaje rozpatrywać projekty perpetuum mobile. Dziś wiemy, że zakazuje ich zasada zachowania energii — treść pierwszej zasady termodynamiki.