Logo Serwisu Media Nauka


Układ równań pierwszego stopnia

Teoria Jeżeli mamy dwa równania, to może się zdarzyć, że pewna para liczb spełnia zarówno jedno, jak i drugie równanie (spełnia jednocześnie oba równania). Powyższe możemy zapisać używając do tego celu klamry, która zastępuje słowo "i". Takie równania spięte klamrą będziemy nazywać układem równań.

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Jeżeli oba równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Definicja Definicja

Każdą parę liczb (x,y), która jest jednocześnie rozwiązaniem dwóch równań nazywamy rozwiązaniem układu tych równań.

Przykład Przykład

Oto przykład układu równań:

\begin{cases}2x+y=0\\x-y=1\end{cases}

Para liczb (\frac{1}{3},-\frac{2}{3}) jest rozwiązaniem powyższego układu równań. Możemy to sprawdzić, podstawiając te liczby do obu równań.

\begin{cases}2\cdot{\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})=0}\\{\frac{1}{3}-(-\frac{2}{3})=1}\end{cases}\\{\begin{cases}0=0\\{1=1}\end{cases}

Teoria Rozwiązać układ równań to znaczy znaleźć wszystkie rozwiązania tego układu równań, albo wykazać, że jest nim zbiór pusty. Zbiór rozwiązań układu równań jest iloczynem rozwiązań (częścią wspólną) wszystkich zbiorów rozwiązań poszczególnych równań układu.

Interpretacja geometryczna układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Teoria Wykresami równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi są proste. Proste mogą się przecinać w jednym punkcie, być równoległe lub pokrywać się.

1) Jeżeli proste przecinają się w jednym punkcie, to układ równań nazywamy układem równań niezależnych.

Para liczb, będąca współrzędnymi punktu przecięcia się obu prostych stanowi rozwiązanie tego układu.

wykres

2) Jeżeli proste są równoległe, to układ równań nazywamy układem równań sprzecznych.

wykres

3) Jeżeli proste pokrywają się, to układ równań nazywamy układem równań zależnych.

wykres

Teoria Czasem rozpatrujemy układy wielu równań z wieloma zmiennymi. Poniżej przykłady takich układów.

Przykład Przykład

\begin{cases}2x-3x=0\\-x-y=-4\\55x-22y=-18\end{cases}

\begin{cases}x+y+z=0\\2x-y-5z=4\\-x-2y-12z=8\end{cases}

W zależności od tego, co jest wykresem poszczególnych równań, zawsze układ tych równań reprezentuje część wspólna wykresów poszczególnych równań.


© Media Nauka, 2009-07-03, ART-260



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 242 - zastosowanie układu równań
Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y=3x-5 oraz y=-5x+3

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom podstawowy)
Układ równań \begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases} opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie :

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 30, matura 2015 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy