Wariacje z powtórzeniami

Wariacja \(k\)-elementowa z powtórzeniami \(n\)-elementowego zbioru jest to każdy \(k\)-elementowy ciąg, którego wyrazy należą do \(n\)-elementowego zbioru (\(k\leq n\)).

Przykład 1

Dany jest zbiór {1,2,3}.

Oto wszystkie wariacje jednoelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,1,2), (1,1,3), (2,1,1), (3,1,1), (1,2,1), (1,3,1), (2,2,1), (2,2,3), (1,2,2), (3,2,2), (2,1,2), (2,3,2), (3,3,1), (3,3,2), (1,3,3), (2,3,3), (3,1,3), (3,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3).

Liczba wariacji z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami różnią się od wariacji bez powtórzeń tym, że wyrazy ciągów nie muszą być różne.

Liczbę wszystkich wariacji \(k\)-elementowych z powtórzeniami \(n\)-elementowego zbioru oznaczamy przez \(W^{k}_{n}\) i obliczamy ze wzoru:

\(W^{k}_{n}=n^k\)

Powyższy zbiór na ilość wariacji z powtórzeniami wykorzystamy w poniższych przykładowych zadaniach:

Przykład 2

Dla zbioru {1,2,3} z pierwszego przykładu policzmy, ile można z jego elementów utworzyć wariacji \(k\)-elementowych z powtórzeniami.

\(W^{1}_{3}=3^1=3\)

\(W^{2}_{3}=3^2=9\)

\(W^{3}_{3}=3^3=27\)

Przykład 3

Ile liczb sześciocyfrowych można ułożyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dopuszczając 0 na pierwszym miejscu?

Tworzymy ciągi sześcioelementowe z elementów zbioru dziesięciu cyfr. Ponieważ dopuszczamy powtórzenia (te same cyfry w ciągu), stosujemy wariacje z powtórzeniami, a ich liczbę obliczamy z powyższego wzoru.

\(W^{1}_{3}=3^1=3\\W^{2}_{3}=3^2=9\\W^{3}_{3}=3^3=27\)

Odpowiedź: z dziesięciu cyfr możemy utworzyć milion różnych liczb.

Kalkulator

Kalkulator — wariacje z powtórzeniami

Nasz program może obliczyć liczbę \(k\)-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego. Pamiętaj, aby podać liczby naturalne.

Wpisz dane:

Losujemy \(k\)-elementów:

ze zbioru \(n\)-elementowego:

Rozwiązanie:

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest

A. 12

B. 36

C. 162

D. 243

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Permutacja

Kombinacja

Wariacja bez powtórzeń

Kombinatoryka

Elementy kombinatoryki