Wielomian dwóch zmiennych

Funkcję \(z=ax^m\cdot{y^n}\), gdzie \((x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\), współczynnik \(a\neq{0}\) oraz liczby całkowite \(m\geq{0},n\geq{0}\), nazywamy jednomianem dwóch zmiennych.

Przykłady

Przykłady jednomianów dwóch zmiennych.

\(W(x,y)=2x^2y^3\)
\(A(x,y)=-xy\)
\(B(x,y)=0\)

Liczbę \((n+m)\) nazywamy stopniem jednomianu dwóch zmiennych.

Przykłady

Jednomian \(W(x,y)\)	Stopień jednomianu
\(x^2y^3\)	5
\(-xy\)	2
\(4x^2y\)	3
\(0\)	nie określa się

Definicja

Funkcję \(z=W(x,y)\), gdzie \((x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\), a \(W(x,y)\) jest sumą jednomianów dwóch zmiennych \(x\) i \(y\) nazywamy wielomianem dwóch zmiennych.

Przykłady

Przykłady wielomianów dwóch zmiennych.

\(W(x,y)=2x^2y^3-3xy-x^3\)
\(A(x,y)=-xy+2\)
\(B(x,y)=xy+x^2y+xy^2\)

Stopień wielomianu dwóch zmiennych

Stopień wielomianu dwóch zmiennych jest to najwyższy ze stopni wyrazów tego wielomianu.

Przykłady

Wielomian \(W(x,y)\)	Stopień wielomianu
\(x^2y^3-x^5y\)	6
\(5xy^2-xy\)	3
\(4xy+x^3\)	3
\(x^5y^5+xy-1\)	10

Definicja

Wielomian dwóch zmiennych nazywamy symetrycznym, jeżeli \(W(x,y)=W(y,x)\).

Przykłady

Jeżeli zamienimy ze sobą zmienne i otrzymamy ten sam wielomian, to mamy do czynienia z wielomianem symetrycznym. Poniżej przykłady wielomianów symetrycznych:

\(W(x,y)=W(y,x)=x^2+y^2+xy+1\)

\(A(x,y)=A(y,x)=x^3y+xy^3-7\)

Symetryczny już nie jest wielomian \(B(x,y)=x^2+xy+1\), gdyż po zamianie zmiennych otrzymamy \(D(y,x)=y^2+xy+1\neq{B(x,y)}\).