Logo Serwisu Media Nauka

Właściwości ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego n\in{N_+}zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 jest równy 3. Oblicz tysięczny wyraz ciągu a1000.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

a_{1000}=3+(1000-1)\cdot{5}=3+999\cdot{5}=4998

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg arytmetyczny (a_1,a_2,a_3,...), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n-skladnikow}

Przykład Przykład

Obliczmy sumę wszystkich liczb naturalnych od 2 do 33.
Kolejne liczby naturalne od 2 do 33 tworzą ciąg arytmetyczny (2,4,5,...33). Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a1=2
n =32 (mamy 32 wyrazy ciągu)
a32=33
S_n=\frac{2+33}{2}\cdot{32}=560

Przykład Przykład

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a dziesiąty wyraz jest równy -5. Wypisać trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Mamy więc z warunków zadania:
a_5=5=a_1+(5-1)r=a_1+4r\\a_{10}=-5=a_1+(10-1)r=a_1+9r
Mamy więc układ równań:
\begin{cases}a_1+4r=5\\a_1+9r=-5\end{cases}
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
4r-9r=5-(-5)\\-5r=10/:(-5)\\r=-2
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i otrzymujemy:
a_1+4\cdot(-2)=5\\a_1=13
Obliczmy jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu, korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
a_2=13+1\cdot(-2)=11
a_3=13+2\cdot(-2)=9

Odpowiedź: Pierwsze trzy wyrazy ciągu to 13, 11 i 9.


© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-306





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.