Logo Serwisu Media Nauka


Wyznaczanie dziedziny funkcji

Teoria Dziedzina jest zbiorem argumentów funkcji. Jeśli dziedzina nie jest jawnie zapisana przy określeniu funkcji (a tak zazwyczaj jest) przyjmujemy, że jest nią zbiór wszystkich liczb, dla których spełniona jest prawa strona równości y=f(x). Dziedzinę oznaczamy symbolem D_{f} Na czym polega wyznaczanie dziedziny funkcji? Prześledzimy to na przykładach.

zadanie Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: x \rightarrow y=\frac{x}{x+5}

Mianownik wyrażenia po prawej stronie równości musi być różny od zera, a więc x+5 \neq 0, zatem x \neq -5
Odpowiedź: D_{f}=R \backslash \lbrace -5 \rbrace

zadanie Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f(x)=\sqrt{-x+1}

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0, a więc:
\qquad -x+1 \geq 0\\ \qquad \qquad \qquad -x \geq -1\\ \qquad \qquad \qquad \qquad x \leq 1

Odpowiedź: D_{f}=(- \infty; 1>
(wynik zapisaliśmy za pomocą przedziału liczbowego).

zadanie Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f(x)=\sqrt{\frac{1}{x^2-1}}

Po pierwsze całe wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być liczbą ujemną, a wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.
Pierwszy warunek:
\frac{1}{x^2-1} \geq 0
Ponieważ licznik jest dodatni, to aby cały ułamek był nieujemny, mianownik również musi być nieujemny.
x^2-1 \geq 0
Stosujemy wzór skróconego mnożenia i otrzymujemy:
(x-1)(x+1) \geq 0
Iloczyn dwóch liczb jest nieujemny, jeżeli oba czynniki są dodatnie lub oba są ujemne. Otrzymujemy zatem układy równań:
\begin{cases} x+1 \geq 0\\ x-1 \geq 0 \end{cases} \qquad lub \qquad \begin{cases} x+1 \leq 0\\x-1 \leq 0 \end{cases}
Zatem:
\begin{cases} x \geq -1\\ x \geq 1 \end{cases} \qquad lub \qquad \begin{cases} x \leq -1\\x \leq 1 \end{cases}
Mamy zatem rozwiązanie:
x \geq 1 \qquad lub \qquad x \leq -1
Możemy to zapisać za pomocą przedziału liczbowego: (- \infty; -1> \cup <1; \infty).
Nie jest to jeszcze jednak dziedzina naszej funkcji, gdyż mamy jeszcze do zbadania drugi warunek, mianowicie - mianownik ułamka musi być różny od zera, a więc x^2-1 \neq 0, czyli x^2 \neq 1, \qquad x \neq 1 \vee x\neq -1.
Musimy więc uwzględnić ten wynik i otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

Odpowiedź: D_{f}=(- \infty; -1) \cup (1; \infty)


© Media Nauka, 2009-04-29, ART-193



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 299 - Dziedzina funkcji
Wyznaczyć dziedzinę funkcji
a) f(x)=\sqrt{x^2-3x}
b) f(x)=log_{x-1}{x+1}



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy