Zadanie — ruch harmoniczny
Treść zadania:
Moduł pomiarowy o masie \(0{,}50\ \text{kg}\) zamocowano do poziomej sprężyny o stałej sprężystości \(200\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\). Moduł wychylono z położenia równowagi o \(6{,}0\ \text{cm}\), a następnie puszczono bez nadawania mu prędkości początkowej.
Oblicz:
- częstość kątową drgań,
- okres i częstotliwość drgań,
- maksymalną wartość prędkości i przyspieszenia modułu,
- wychylenie, prędkość i przyspieszenie modułu po czasie równym jednej ósmej okresu.
Załóż, że opory ruchu można pominąć, a sprężyna jest idealna.
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(m=0{,}50\ \text{kg}\)
\(k=200\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\)
\(A=6{,}0\ \text{cm}=0{,}060\ \text{m}\)
\(v_0=0\)
Ponieważ moduł puszczono bez prędkości początkowej z położenia maksymalnego wychylenia, jego ruch można opisać równaniem:
\(x=A\cos(\omega t)\)
1. Częstość kątowa drgań
Dla układu składającego się z ciężarka i sprężyny częstość kątowa jest dana wzorem:
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
Podstawiamy dane:
\(\omega=\sqrt{\frac{200\ \frac{\text{N}}{\text{m}}}{0{,}50\ \text{kg}}}\)
\(\omega=\sqrt{400\ \frac{1}{\text{s}^2}}\)
\(\omega=20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)
2. Okres i częstotliwość drgań
Okres drgań harmonicznych jest dany wzorem:
\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
Podstawiamy obliczoną częstość kątową:
\(T=\frac{2\pi}{20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}}\)
\(T=\frac{\pi}{10}\ \text{s}\)
\(T\approx 0{,}314\ \text{s}\)
Częstotliwość drgań obliczamy ze wzoru:
\(f=\frac{1}{T}\)
Możemy również skorzystać ze wzoru:
\(f=\frac{\omega}{2\pi}\)
Podstawiamy dane:
\(f=\frac{20}{2\pi}\ \text{Hz}\)
\(f\approx 3{,}18\ \text{Hz}\)
3. Maksymalna wartość prędkości i przyspieszenia
Maksymalna wartość prędkości w ruchu harmonicznym jest dana wzorem:
\(v_{\text{max}}=A\omega\)
Podstawiamy dane:
\(v_{\text{max}}=0{,}060\ \text{m}\cdot 20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)
\(v_{\text{max}}=1{,}2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Maksymalna wartość przyspieszenia jest dana wzorem:
\(a_{\text{max}}=A\omega^2\)
Podstawiamy dane:
\(a_{\text{max}}=0{,}060\ \text{m}\cdot \left(20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\right)^2\)
\(a_{\text{max}}=0{,}060\cdot 400\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
\(a_{\text{max}}=24\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
4. Wychylenie, prędkość i przyspieszenie po czasie równym jednej ósmej okresu
Rozpatrywany czas wynosi:
\(t=\frac{T}{8}\)
Obliczamy fazę drgań po tym czasie:
\(\omega t=\omega\frac{T}{8}\)
Ponieważ:
\(\omega T=2\pi\)
otrzymujemy:
\(\omega t=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\)
Wychylenie modułu obliczamy ze wzoru:
\(x=A\cos(\omega t)\)
Podstawiamy dane:
\(x=0{,}060\ \text{m}\cdot\cos\frac{\pi}{4}\)
\(x=0{,}060\ \text{m}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x\approx 0{,}0424\ \text{m}\)
\(x\approx 4{,}24\ \text{cm}\)
Prędkość modułu obliczamy ze wzoru:
\(v=-A\omega\sin(\omega t)\)
Podstawiamy dane:
\(v=-0{,}060\ \text{m}\cdot 20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\cdot\sin\frac{\pi}{4}\)
\(v=-1{,}2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(v\approx -0{,}85\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Znak minus oznacza, że moduł porusza się w stronę położenia równowagi.
Przyspieszenie modułu obliczamy ze wzoru:
\(a=-\omega^2x\)
Podstawiamy dane:
\(a=-\left(20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\right)^2\cdot 0{,}0424\ \text{m}\)
\(a=-400\cdot 0{,}0424\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
\(a\approx -17{,}0\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
Znak minus oznacza, że przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do wychylenia, czyli w stronę położenia równowagi.
Odpowiedź
Częstość kątowa drgań wynosi \(20\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\), okres drgań wynosi około \(0{,}314\ \text{s}\), a częstotliwość około \(3{,}18\ \text{Hz}\).
Maksymalna wartość prędkości modułu wynosi \(1{,}2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\), a maksymalna wartość przyspieszenia \(24\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
Po czasie równym jednej ósmej okresu wychylenie modułu wynosi około \(4{,}24\ \text{cm}\), prędkość około \(-0{,}85\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\), a przyspieszenie około \(-17{,}0\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Ujemne znaki prędkości i przyspieszenia oznaczają, że moduł porusza się w stronę położenia równowagi i jest w tę stronę przyspieszany.
© medianauka.pl, 2026-07-24, ZAD-5175/28393
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W muzeum znajduje się zegar wahadłowy. Długość jego wahadła, mierzona od punktu zawieszenia do środka masy obciążnika, wynosi \(1{,}00\ \text{m}\). Wahadło wychylono o niewielki kąt i puszczono bez prędkości początkowej.
Oblicz:
- okres drgań wahadła,
- częstotliwość jego drgań,
- liczbę pełnych drgań wykonanych w czasie \(2\ \text{min}\),
- długość wahadła, którego okres drgań wynosiłby dokładnie \(3{,}0\ \text{s}\).
Przyjmij:
\(g=10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
Załóż, że wychylenia wahadła są małe, opory ruchu można pominąć, a nić jest nieważka i nierozciągliwa.
