Zadanie — ruch harmoniczny
Treść zadania:
W muzeum znajduje się zegar wahadłowy. Długość jego wahadła, mierzona od punktu zawieszenia do środka masy obciążnika, wynosi \(1{,}00\ \text{m}\). Wahadło wychylono o niewielki kąt i puszczono bez prędkości początkowej.
Oblicz:
- okres drgań wahadła,
- częstotliwość jego drgań,
- liczbę pełnych drgań wykonanych w czasie \(2\ \text{min}\),
- długość wahadła, którego okres drgań wynosiłby dokładnie \(3{,}0\ \text{s}\).
Przyjmij:
\(g=10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
Załóż, że wychylenia wahadła są małe, opory ruchu można pominąć, a nić jest nieważka i nierozciągliwa.
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(l=1{,}00\ \text{m}\)
\(g=10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
\(t=2\ \text{min}=120\ \text{s}\)
\(T_2=3{,}0\ \text{s}\)
Dla małych wychyleń okres drgań wahadła prostego jest dany wzorem:
\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
1. Okres drgań wahadła
Podstawiamy długość wahadła i wartość przyspieszenia ziemskiego:
\(T=2\pi\sqrt{\frac{1{,}00\ \text{m}}{10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}\)
\(T=2\pi\sqrt{0{,}10\ \text{s}^2}\)
\(T=2\pi\cdot 0{,}316\ \text{s}\)
\(T\approx 1{,}99\ \text{s}\)
Po zaokrągleniu okres drgań wahadła wynosi około:
\(T\approx 2{,}0\ \text{s}\)
2. Częstotliwość drgań
Częstotliwość jest odwrotnością okresu:
\(f=\frac{1}{T}\)
Podstawiamy obliczony okres:
\(f=\frac{1}{1{,}99\ \text{s}}\)
\(f\approx 0{,}503\ \text{Hz}\)
Po zaokrągleniu:
\(f\approx 0{,}50\ \text{Hz}\)
Oznacza to, że wahadło wykonuje w przybliżeniu połowę pełnego drgania w ciągu jednej sekundy, czyli jedno pełne drganie w czasie około dwóch sekund.
3. Liczba pełnych drgań w czasie dwóch minut
Liczbę drgań obliczamy ze wzoru:
\(n=\frac{t}{T}\)
Podstawiamy dane:
\(n=\frac{120\ \text{s}}{1{,}99\ \text{s}}\)
\(n\approx 60{,}3\)
W czasie dwóch minut wahadło wykona zatem \(60\) pełnych drgań. Po wykonaniu sześćdziesiątego pełnego drgania pozostanie jeszcze niewielka część okresu.
4. Długość wahadła o okresie \(3{,}0\ \text{s}\)
Korzystamy ze wzoru na okres wahadła:
\(T_2=2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}\)
Dzielimy obie strony równania przez \(2\pi\):
\(\frac{T_2}{2\pi}=\sqrt{\frac{l_2}{g}}\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu:
\(\frac{T_2^2}{4\pi^2}=\frac{l_2}{g}\)
Wyznaczamy długość wahadła:
\(l_2=\frac{gT_2^2}{4\pi^2}\)
Podstawiamy dane:
\(l_2=\frac{10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot(3{,}0\ \text{s})^2}{4\pi^2}\)
\(l_2=\frac{90\ \text{m}}{4\pi^2}\)
\(l_2\approx\frac{90\ \text{m}}{39{,}48}\)
\(l_2\approx 2{,}28\ \text{m}\)
Odpowiedź
Okres drgań wahadła o długości \(1{,}00\ \text{m}\) wynosi około \(1{,}99\ \text{s}\), a jego częstotliwość około \(0{,}50\ \text{Hz}\).
W czasie dwóch minut wahadło wykona \(60\) pełnych drgań.
Aby okres wahadła wynosił \(3{,}0\ \text{s}\), jego długość powinna wynosić około \(2{,}28\ \text{m}\).
© medianauka.pl, 2026-07-24, ZAD-5176/28394
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Moduł pomiarowy o masie \(0{,}50\ \text{kg}\) zamocowano do poziomej sprężyny o stałej sprężystości \(200\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\). Moduł wychylono z położenia równowagi o \(6{,}0\ \text{cm}\), a następnie puszczono bez nadawania mu prędkości początkowej.
Oblicz:
- częstość kątową drgań,
- okres i częstotliwość drgań,
- maksymalną wartość prędkości i przyspieszenia modułu,
- wychylenie, prędkość i przyspieszenie modułu po czasie równym jednej ósmej okresu.
Załóż, że opory ruchu można pominąć, a sprężyna jest idealna.
