Zadanie — energia w ruchu harmonicznym
Treść zadania:
Ciężarek o masie \(0{,}50\ \text{kg}\) przymocowano do poziomej sprężyny o stałej sprężystości \(80\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\). Ciężarek wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie \(20\ \text{cm}\).
Oblicz:
- energię całkowitą oscylatora,
- energię potencjalną i kinetyczną ciężarka, gdy jego wychylenie wynosi \(12\ \text{cm}\),
- wartość prędkości ciężarka w tym położeniu,
- maksymalną wartość prędkości ciężarka,
- wychylenia, przy których energia kinetyczna jest równa energii potencjalnej.
Załóż, że opory ruchu można pominąć, a sprężyna jest idealna.
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(m=0{,}50\ \text{kg}\)
\(k=80\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\)
\(A=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}\)
\(x=12\ \text{cm}=0{,}12\ \text{m}\)
1. Energia całkowita oscylatora
Energia całkowita w idealnym ruchu harmonicznym jest dana wzorem:
\(E=\frac{1}{2}kA^2\)
Podstawiamy dane:
\(E=\frac{1}{2}\cdot 80\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}20\ \text{m})^2\)
\(E=40\cdot 0{,}040\ \text{J}\)
\(E=1{,}6\ \text{J}\)
2. Energia potencjalna i kinetyczna przy wychyleniu \(12\ \text{cm}\)
Energia potencjalna sprężystości jest dana wzorem:
\(E_p=\frac{1}{2}kx^2\)
Podstawiamy dane:
\(E_p=\frac{1}{2}\cdot 80\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}12\ \text{m})^2\)
\(E_p=40\cdot 0{,}0144\ \text{J}\)
\(E_p=0{,}576\ \text{J}\)
Energia całkowita jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej:
\(E=E_k+E_p\)
Wyznaczamy energię kinetyczną:
\(E_k=E-E_p\)
Podstawiamy obliczone wartości:
\(E_k=1{,}6\ \text{J}-0{,}576\ \text{J}\)
\(E_k=1{,}024\ \text{J}\)
3. Wartość prędkości przy wychyleniu \(12\ \text{cm}\)
Korzystamy ze wzoru na energię kinetyczną:
\(E_k=\frac{1}{2}mv^2\)
Wyznaczamy kwadrat prędkości:
\(v^2=\frac{2E_k}{m}\)
Stąd:
\(v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}\)
Podstawiamy dane:
\(v=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}024\ \text{J}}{0{,}50\ \text{kg}}}\)
\(v=\sqrt{4{,}096\ \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\)
\(v\approx 2{,}02\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
W tym położeniu ciężarek może poruszać się w stronę dodatnią albo ujemną, dlatego jego prędkość może mieć wartość:
\(v\approx 2{,}02\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
lub
\(v\approx -2{,}02\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Wartość prędkości wynosi w obu przypadkach około \(2{,}02\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
4. Maksymalna wartość prędkości ciężarka
Największą prędkość ciężarek osiąga w położeniu równowagi, gdzie cała energia układu jest energią kinetyczną:
\(E=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\)
Wyznaczamy maksymalną prędkość:
\(v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2E}{m}}\)
Podstawiamy dane:
\(v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\ \text{J}}{0{,}50\ \text{kg}}}\)
\(v_{\text{max}}=\sqrt{6{,}4\ \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\)
\(v_{\text{max}}\approx 2{,}53\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
5. Wychylenia, przy których energie są równe
Energia kinetyczna i potencjalna są sobie równe, gdy każda z nich jest równa połowie energii całkowitej:
\(E_p=\frac{E}{2}\)
Korzystamy ze wzorów:
\(E_p=\frac{1}{2}kx^2\)
\(E=\frac{1}{2}kA^2\)
Otrzymujemy:
\(\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}kA^2\)
Skracamy równanie przez \(k\):
\(\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{4}A^2\)
Mnożymy obie strony przez \(2\):
\(x^2=\frac{A^2}{2}\)
Stąd:
\(x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}\)
Podstawiamy amplitudę:
\(x=\pm\frac{0{,}20\ \text{m}}{\sqrt{2}}\)
\(x\approx\pm 0{,}141\ \text{m}\)
\(x\approx\pm 14{,}1\ \text{cm}\)
Odpowiedź
Energia całkowita oscylatora wynosi \(1{,}6\ \text{J}\).
Przy wychyleniu \(12\ \text{cm}\) energia potencjalna wynosi \(0{,}576\ \text{J}\), a energia kinetyczna \(1{,}024\ \text{J}\).
Wartość prędkości ciężarka w tym położeniu wynosi około \(2{,}02\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\), natomiast maksymalna wartość prędkości wynosi około \(2{,}53\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Energia kinetyczna jest równa energii potencjalnej przy wychyleniach około \(14{,}1\ \text{cm}\) oraz \(-14{,}1\ \text{cm}\).
© medianauka.pl, 2026-07-25, ZAD-5177/28395
Zadania podobne
Brak powiązanych zadań.
