Zadanie — rezonans
Treść zadania:
Ciało o masie \(m=1{,}0\ \mathrm{kg}\) jest przymocowane do sprężyny o stałej sprężystości \(k=100\ \mathrm{N/m}\). Na ciało działa siła oporu proporcjonalna do prędkości, a współczynnik oporu wynosi \(b=1{,}0\ \mathrm{N\cdot s/m}\).
Układ jest pobudzany siłą harmoniczną o amplitudzie \(F_0=4{,}0\ \mathrm{N}\).
Amplitudę ustalonych drgań wymuszonych opisuje wzór:
\(A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}\)
Oblicz:
- częstość kątową drgań własnych układu,
- rezonansową częstość kątową,
- amplitudę drgań przy częstości rezonansowej,
- amplitudę drgań dla częstości wymuszenia \(\Omega=5{,}0\ \mathrm{rad/s}\),
- ile razy amplituda rezonansowa jest większa od amplitudy dla \(\Omega=5{,}0\ \mathrm{rad/s}\).
Rezonansową częstość kątową oscylatora tłumionego można obliczyć ze wzoru:
\(\Omega_r=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}}\)
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(m=1{,}0\ \mathrm{kg}\)
\(k=100\ \mathrm{N/m}\)
\(b=1{,}0\ \mathrm{N\cdot s/m}\)
\(F_0=4{,}0\ \mathrm{N}\)
1. Częstość kątowa drgań własnych
Częstość kątową drgań własnych układu masa–sprężyna obliczamy ze wzoru:
\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
Podstawiamy dane:
\(\omega_0=\sqrt{\frac{100}{1{,}0}}\ \mathrm{rad/s}\)
\(\omega_0=10\ \mathrm{rad/s}\)
2. Rezonansowa częstość kątowa
Korzystamy ze wzoru:
\(\Omega_r=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}}\)
Podstawiamy wartości:
\(\Omega_r=\sqrt{\frac{100}{1{,}0}-\frac{1{,}0^2}{2\cdot1{,}0^2}}\ \mathrm{rad/s}\)
\(\Omega_r=\sqrt{100-0{,}5}\ \mathrm{rad/s}\)
\(\Omega_r=\sqrt{99{,}5}\ \mathrm{rad/s}\)
\(\Omega_r\approx9{,}97\ \mathrm{rad/s}\)
Rezonansowa częstość kątowa jest nieco mniejsza od częstości kątowej drgań własnych. Różnica jest mała, ponieważ tłumienie układu jest słabe.
3. Amplituda przy częstości rezonansowej
Amplitudę drgań obliczamy ze wzoru:
\(A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}\)
Dla \(\Omega=\Omega_r\approx9{,}97\ \mathrm{rad/s}\):
\(A_r=\frac{4{,}0}{\sqrt{(100-1{,}0\cdot9{,}97^2)^2+(1{,}0\cdot9{,}97)^2}}\ \mathrm{m}\)
Ponieważ:
\(9{,}97^2\approx99{,}5\)
otrzymujemy:
\(A_r=\frac{4{,}0}{\sqrt{(100-99{,}5)^2+9{,}97^2}}\ \mathrm{m}\)
\(A_r=\frac{4{,}0}{\sqrt{0{,}5^2+99{,}5}}\ \mathrm{m}\)
\(A_r=\frac{4{,}0}{\sqrt{99{,}75}}\ \mathrm{m}\)
\(A_r\approx0{,}401\ \mathrm{m}\)
\(A_r\approx40{,}1\ \mathrm{cm}\)
4. Amplituda dla \(\Omega=5{,}0\ \mathrm{rad/s}\)
Podstawiamy \(\Omega=5{,}0\ \mathrm{rad/s}\):
\(A(5)=\frac{4{,}0}{\sqrt{(100-1{,}0\cdot5{,}0^2)^2+(1{,}0\cdot5{,}0)^2}}\ \mathrm{m}\)
\(A(5)=\frac{4{,}0}{\sqrt{(100-25)^2+25}}\ \mathrm{m}\)
\(A(5)=\frac{4{,}0}{\sqrt{75^2+25}}\ \mathrm{m}\)
\(A(5)=\frac{4{,}0}{\sqrt{5650}}\ \mathrm{m}\)
\(A(5)\approx0{,}0532\ \mathrm{m}\)
\(A(5)\approx5{,}32\ \mathrm{cm}\)
5. Porównanie amplitud
Obliczamy stosunek amplitudy rezonansowej do amplitudy dla \(\Omega=5{,}0\ \mathrm{rad/s}\):
\(\frac{A_r}{A(5)}=\frac{0{,}401}{0{,}0532}\)
\(\frac{A_r}{A(5)}\approx7{,}5\)
Odpowiedź
Odpowiedź: Częstość kątowa drgań własnych wynosi \(10\ \mathrm{rad/s}\), a rezonansowa częstość kątowa około \(9{,}97\ \mathrm{rad/s}\). Przy rezonansie amplituda drgań wynosi około \(40{,}1\ \mathrm{cm}\), natomiast dla częstości wymuszenia \(5{,}0\ \mathrm{rad/s}\) jest równa około \(5{,}32\ \mathrm{cm}\). Amplituda rezonansowa jest około \(7{,}5\) raza większa.
© medianauka.pl, 2026-07-26, ZAD-5178/28410
Zadania podobne
Brak powiązanych zadań.
