Zadanie — równanie fali
Treść zadania:
Fala harmoniczna rozchodzi się w dodatnim kierunku osi \(x\). Jej amplituda wynosi \(A=4\ \mathrm{cm}\), częstotliwość \(f=5\ \mathrm{Hz}\), a długość fali \(\lambda=2\ \mathrm{m}\). Faza początkowa jest równa zeru.
Oblicz:
- częstość kątową fali,
- liczbę falową,
- prędkość rozchodzenia się fali,
- wychylenie punktu o współrzędnej \(x=0{,}5\ \mathrm{m}\) w chwili \(t=0{,}2\ \mathrm{s}\).
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(A=4\ \mathrm{cm}=0{,}04\ \mathrm{m}\)
\(f=5\ \mathrm{Hz}\)
\(\lambda=2\ \mathrm{m}\)
\(\phi_0=0\)
\(x=0{,}5\ \mathrm{m}\)
\(t=0{,}2\ \mathrm{s}\)
1. Obliczenie częstości kątowej
Korzystamy ze wzoru:
\(\omega=2\pi f\)
Podstawiamy dane:
\(\omega=2\pi\cdot5\ \mathrm{Hz}\)
\(\omega=10\pi\ \mathrm{rad/s}\)
\(\omega\approx31{,}4\ \mathrm{rad/s}\)
2. Obliczenie liczby falowej
Korzystamy ze wzoru:
\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)
Podstawiamy dane:
\(k=\frac{2\pi}{2\ \mathrm{m}}\)
\(k=\pi\ \mathrm{m^{-1}}\)
\(k\approx3{,}14\ \mathrm{m^{-1}}\)
3. Obliczenie prędkości fali
Korzystamy ze wzoru:
\(v=\lambda f\)
Podstawiamy dane:
\(v=2\ \mathrm{m}\cdot5\ \mathrm{Hz}\)
\(v=10\ \mathrm{m/s}\)
4. Obliczenie wychylenia punktu ośrodka
Równanie fali rozchodzącej się w dodatnim kierunku osi \(x\) ma postać:
\(y(x,t)=A\cos(\omega t-kx)\)
Podstawiamy dane:
\(y=0{,}04\cos\left(10\pi\cdot0{,}2-\pi\cdot0{,}5\right)\)
\(y=0{,}04\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{2}\right)\)
\(y=0{,}04\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)
Ponieważ:
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\)
otrzymujemy:
\(y=0\ \mathrm{m}\)
Odpowiedź
Odpowiedź: Częstość kątowa fali wynosi \(10\pi\ \mathrm{rad/s}\), liczba falowa wynosi \(\pi\ \mathrm{m^{-1}}\), a prędkość rozchodzenia się fali jest równa \(10\ \mathrm{m/s}\). W chwili \(t=0{,}2\ \mathrm{s}\) punkt o współrzędnej \(x=0{,}5\ \mathrm{m}\) znajduje się w położeniu równowagi, dlatego jego wychylenie wynosi \(0\ \mathrm{m}\).
© medianauka.pl, 2026-07-27, ZAD-5183/28485
Zadania podobne
Brak powiązanych zadań.
