Zadanie — przemiana adiabatyczna
Treść zadania:
Jeden mol gazu doskonałego o współczynniku adiabatycznym \(\kappa=1{,}4\) znajduje się początkowo w temperaturze \(T_1=300\ \text{K}\), pod ciśnieniem \(p_1=100\ \text{kPa}\). Gaz zostaje odwracalnie i adiabatycznie sprężony tak, że jego objętość maleje dwukrotnie.
Oblicz:
a) końcową temperaturę gazu \(T_2\),
b) końcowe ciśnienie gazu \(p_2\),
c) pracę \(W\) wykonaną nad gazem.
Przyjmij \(R=8{,}31\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\).
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(n=1\ \text{mol}\)
\(\kappa=1{,}4\)
\(T_1=300\ \text{K}\)
\(p_1=100\ \text{kPa}\)
\(V_2=\frac{1}{2}V_1\)
\(R=8{,}31\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\)
Szukane:
\(T_2=?\)
\(p_2=?\)
\(W=?\)
a) Końcowa temperatura gazu
Dla odwracalnej przemiany adiabatycznej obowiązuje równanie Poissona:
\(T_1V_1^{\kappa-1}=T_2V_2^{\kappa-1}\)
Stąd:
\(T_2=T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\kappa-1}\)
Ponieważ objętość zmalała dwukrotnie:
\(\frac{V_1}{V_2}=2\)
Zatem:
\(T_2=300\ \text{K}\cdot2^{1{,}4-1}\)
\(T_2=300\ \text{K}\cdot2^{0{,}4}\)
\(T_2\approx396\ \text{K}\)
Podczas adiabatycznego sprężania temperatura gazu wzrosła.
b) Końcowe ciśnienie gazu
Korzystamy z drugiego równania Poissona:
\(p_1V_1^\kappa=p_2V_2^\kappa\)
Stąd:
\(p_2=p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\kappa\)
Podstawiamy dane:
\(p_2=100\ \text{kPa}\cdot2^{1{,}4}\)
\(p_2\approx264\ \text{kPa}\)
c) Praca wykonana nad gazem
W przemianie adiabatycznej:
\(Q=0\)
Przy konwencji \(\Delta U=Q+W\) otrzymujemy więc:
\(W=\Delta U\)
Dla gazu doskonałego:
\(\Delta U=nC_V\Delta T\)
Musimy najpierw wyznaczyć \(C_V\). Korzystamy z zależności:
\(\kappa=\frac{C_p}{C_V}\)
oraz z równania Mayera:
\(C_p-C_V=R\)
Ponieważ \(C_p=\kappa C_V\), mamy:
\(\kappa C_V-C_V=R\)
\(C_V(\kappa-1)=R\)
\(C_V=\frac{R}{\kappa-1}\)
\(C_V=\frac{8{,}31}{1{,}4-1}\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\)
\(C_V\approx20{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\)
Zmiana temperatury wynosi:
\(\Delta T=T_2-T_1\)
\(\Delta T\approx396\ \text{K}-300\ \text{K}=96\ \text{K}\)
Zatem:
\(W=1\ \text{mol}\cdot20{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\cdot96\ \text{K}\)
\(W\approx2000\ \text{J}=2{,}0\ \text{kJ}\)
Praca ma wartość dodatnią, ponieważ podczas sprężania otoczenie wykonuje pracę nad gazem.
Odpowiedź
Odpowiedź: Po adiabatycznym sprężeniu temperatura gazu wynosi około \(396\ \text{K}\), a jego ciśnienie około \(264\ \text{kPa}\). Nad gazem wykonano pracę około \(2{,}0\ \text{kJ}\).
© medianauka.pl, 2026-08-15, ZAD-5216/28906
Zadania podobne
Brak powiązanych zadań.
