Zadanie - odległość punktu od figury

Treść zadania:

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości \(d\). Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu \(B\).

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu \(y=-2x+2\) i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: \(y=ax+b\). Musimy znaleźć współczynniki \(a\) i \(b\)

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)

Mamy więc:

\(a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)

\(y=\frac{1}{2}x+b\)

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(A=(-3,4)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

\(y=\frac{1}{2}x+b\)

\(4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\)

\(4=-\frac{3}{2}+b\)

\(b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\)

\(y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\)

Aby znaleźć współrzędne punktu \(B\) musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu \(B\). Możemy już obliczyć odległość \(d=|AB|\)

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:

\(z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: \(A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})\). Korzystamy z powyższego wzoru:

\(d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

ksiązki Odpowiedź

\(d=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

© medianauka.pl, 2011-01-01, ZAD-1065

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.