Zadanie - Długość odcinka

Treść zadania:

Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka wyznaczonego przez dwa punkty \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:

\(|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami o współrzędnych: \(=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)\). Wykorzystaliśmy już fakt, ze punkt B leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\), dlatego napisaliśmy, że współrzędna x punktu B jest równa \(\sqrt{2}\).

\(|\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}\)

Podnosimy obie strony równania do kwadratu.

\(1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\)

\(1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\)

\(4=1+4y^2-32y+64\)

\(4y^2-32y+61=0\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki równania:

\(4y^2-32y+61=0\)

\(a=4\)

\(b=-32\)

\(c=61\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 61=1024-976=48\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\)

\(y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)-4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32-4\sqrt{3}}{8}=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\)

\(y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)+4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32+4\sqrt{3}}{8}=\frac{8+\sqrt{3}}{2}\)

Istnieją więc dwa punkty, które spełniają warunki zadania.

ksiązki Odpowiedź

\(B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})\)

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1068

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:

A. \(a=5\) i \(b=5\)

B. \(a=-1\) i \(b=2\)

C. \(a=4\) i \(b=10\)

D. \(a=-4\) i \(b=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(6\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. \(2\sqrt{34}\)

B. \(8\)

C. \(\sqrt{34}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że

A. \(b=-28\)

B. \(b=-14\)

C. \(b=-24\)

D. \(b=-10\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.