Zadanie - symetralna odcinka

Treść zadania:

Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.

Symetralna odcinka

Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty \(A, B\), wstawiając do równania kierunkowego prostej \(y=ax+b\) wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\)

?A=(1,4), B=(-2,1)\\ y=ax+b \\ \begin{cases} 4=a\cdot 1 +b \\ 1=-2\cdot a+b\end{cases} \\  \underline{- \ \ \ \begin{cases} 4=a+b \\ 1=-2a+b\end{cases}}\\ 3a=3/:3\\ a=1\\ a+b=4\\ 1+b=4\\ b=3\\ y=x+3

Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez \(y=a_sx+b_s\). Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:

\(a_s=-\frac{1}{a}\)

Mamy więc:

\(a_s=-\frac{1}{1}=-1\)

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b_s\). Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\):

\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}\)

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(A=(1,4), B=(-2,1)\)

\(x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\)

\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\)

\(S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})\)

Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:

\(y=a_sx+b_s\)

\(y=-x+b_s\)

\(\frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\)

\(b_s=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\)

\(b_s=2\)

\(y=-x+2\)

ksiązki Odpowiedź

Równanie symetralnej odcinka:\(y=-x+2\)

© medianauka.pl, 2011-01-04, ZAD-1072

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne





©® Media Nauka 2008-2023 r.