Zadanie - złoty podział odcinka
Treść zadania:
Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10.
Rozwiązanie zadania
Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka.
Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:
Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:
\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\)
\(\frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}\)
Jeżeli nie pamiętamy wartości złotego podziału, można wykonać następujące rachunki. Oznaczmy stosunek \(a:b\) przez grecką literę \(\varphi\). Otrzymujemy równanie:
\(\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\)
\(\frac{\varphi^2}{\varphi}-\frac{\varphi}{\varphi}-\frac{1}{\varphi}=0 \)
\(\frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\)
\(\varphi^2-\varphi-1=0\)
\(a=1\)
\(b=-1\)
\(c=-1\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5\)
\(\varphi_1==\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\)
\(\varphi_2==\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\)
Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą, która dzieli odcinek na dwa odcinki będące ze sobą w złotym podziale.
Nasz odcinek ma długość 10. Aby znaleźć jego złoty podział, wystarczy podzielić go przez liczbę \(\varphi\)
\(a=10/\varphi\approx 10/1.618\approx 6,18\)
\(b=10-a\approx 3,82\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-08, ZAD-1085
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Odcinek o długości \(a\) podzielić na dwa odcinki w stosunku \(\frac{3}{5}\).
Zadanie nr 2.
Punkty \(A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1)\) wyznaczają odcinek \(\overline{AB}\). Znaleźć jego środek.