Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 566 - pole powierzchni wielokąta foremnego


W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

R=10\\ \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}
P=2a^2(1+\sqrt{2})\\ P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})
P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\\ P=200\sqrt{2}
P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}\\a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\\ R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego wyraża się wzorem:

P=2a^2(1+\sqrt{2})

gdzie a jest długością boku ośmiokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem:

R=\frac{a}{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}

Dany jest promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym, dzięki czemu możemy obliczyć długość boku. To z kolei umożliwi nam obliczenie pola powierzchni ośmiokąta foremnego, które jest niezbędne przy szukaniu danych dotyczących sześciokąta, o którym mowa w zadaniu. Dany jest promień R:

R=10\\ \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}

Możemy przystąpić do wyznaczenia pola ośmiokąta foremnego:

a^2(1+\sqrt{2})\\ P=2(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2(1+\sqrt{2})\\ P=2\cdot \frac{10^2\cdot 2}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) \\ P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})

Pozbywamy się niewymierności z mianownika

P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\\ P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\\ P=\frac{400\cdot (2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2)}{2^4-2}\\ P=\frac{400\sqrt{2}}{2}\\ P=200\sqrt{2}

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości jego boku, natomiast wzór na pole sześciokąta foremnego jest następujący:

P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}

Znamy już pole powierzchni (oba pola obu figur mają być równe), więc wyznaczymy długość boku sześciokąta, która jest jednocześnie szukaną długością promienia okręgu.

P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}/ \cdot 2\\ 3a^2\sqrt{3}=400\sqrt{2}/ :3\sqrt{3} \\a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\\ a=\sqrt{\frac{400\sqrt{6}}{9}}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt{\sqrt{6}}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\\ R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}

ksiązki Odpowiedź

R_{sz}=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}

© medianauka.pl, 2011-01-12, ZAD-1095


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.