Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 568 - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny


Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162o. Ile boków ma ten wielokąt?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\alpha=162^o=180^o-\frac{360^o}{n}\\ \frac{360^o}{n}=18^o/\cdot \frac{n}{18^o}\\  n=20

ksiązki Rozwiązanie zadania szczegółowe

Kąty wewnętrzne

Przeanalizujmy dowolny n-kąt foremny. Szukamy kąta \alpha. Na podstawie rysunku widać, że

\alpha=2\gamma

Gdy podzielimy wielokąt foremny na trójkąty tak, jak to pokazuje rysunek, otrzymamy trójkąty równoramienne. Stąd wniosek, że dwa kąty w trójkącie są równe (\gamma). Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, zatem:

\gamma+\gamma+\beta=180^o\\ 2\gamma+\beta=180^o\\ \alpha+\beta=180^o\\ \alpha=180^o-\beta tło tło

Kat \beta jest to kąt pełny podzielony na tyle części, z ilu boków składa się wielokąt foremny:

\beta=\frac{360^o}{n}\\ \alpha=180^o-\frac{360^o}{n}

W naszym przypadku mamy:

\alpha=162^o \\  \alpha=162^o=180^o-\frac{360^o}{n}\\ \frac{360^o}{n}=180^o-162^o \\ \frac{360^o}{n}=18^o/\cdot n\\ 18^o \cdot n=360^o/:18^o\\ n=20

ksiązki Odpowiedź

Szukanym wielokątem jest dwudziestokąt foremny

© Media Nauka, 2011-01-13


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy