Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg

Treść zadania:

Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

Trójkąt wpisany w okrąg

Aby obliczyć pole i obwód okręgu musimy poznać promień \(r\) okręgu opisanego na trójkącie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wysokość trójkąta równobocznego:

\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\)

\(h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)

\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)

\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(a=1\)

\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością, a środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać:

\(r=\frac{2}{3}h\)

\(r=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Obliczamy pole koła:

\(P_k=\pi r^2\)

\(P=\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^2\)

\(P=\pi \cdot \frac{3}{9}\)

\(P=\frac{\pi}{3}\)

Obliczamy obwód okręgu:

\(S=2\pi r=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(P=\frac{\pi}{3}, \ S=\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\)

© medianauka.pl, 2011-01-17, ZAD-1109

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy

A. 4

B. 2

C. \(\frac{4}{3}\)

D. 2/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe

A. \(3\sqrt{3}\)

B. \(4\sqrt{3}\)

C. \(27\sqrt{3}\)

D. \(36\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.