Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
Treść zadania:
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Aby obliczyć pole i obwód okręgu musimy poznać promień r okręgu opisanego na trójkącie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wysokość trójkąta równobocznego:
\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\)
\(h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(a=1\)
\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością, a środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać:
\(r=\frac{1}{3}h\)
\(r=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Obliczamy pole koła:
\(P_k=\pi r^2\)
\(P=\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{6})^2\)
\(P=\pi \cdot \frac{3}{36}\)
\(P=\frac{\pi}{12}\)
Obliczamy obwód okręgu:
\(S=2\pi r=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-17, ZAD-1110
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 2.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 3.
Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).
Zadanie nr 4.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.
Zadanie nr 5.
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.
Zadanie nr 6.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy
A. 4
B. 2
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 2/3
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe
A. \(3\sqrt{3}\)
B. \(4\sqrt{3}\)
C. \(27\sqrt{3}\)
D. \(36\sqrt{3}\)