Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 582 - okrąg opisany na trójkącie


Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a^2+b^2=(2R)^2\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}
P=\pi R^2=\frac{25\pi}{4}
S=2\pi R=5\pi


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Okrąg opisany na trójkącie

Kąt oparty na średnicy koła jest kątem prostym, zatem środek naszego koła leży na przeciwprostokątnej naszego trójkąta. Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta, środek koła opisanego dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwie równe części. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

a^2+b^2=(2R)^2\\ a^2+b^2=4R^2/:4\\ R^2=\frac{a^2+b^2}{4}\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ a=3, \ b=4\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{\sqrt{25}}{2}=\frac{5}{2}

Obliczamy pole koła:

P=\pi R^2\\ P=\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\\ P=\pi \cdot \frac{25}{4}\\ P=\frac{25\pi}{4}

Obliczamy obwód okręgu:

S=2\pi R=2\pi \cdot \frac{5}{2}=5\pi

ksiązki Odpowiedź

P=\frac{25\pi}{4}, \ S=5\pi

© Media Nauka, 2011-01-18

Zadania podobne

kulkaZadanie 599 - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.


kulkaZadanie 600 - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.


kulkaZadanie 604 - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.


kulkaZadanie 605 - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 2\sqrt{2}opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.


kulkaZadanie 606 - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.


kulkaZadanie 607 - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \sqrt{10}


kulkaZadanie 608 - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.


kulkaZadanie 610 - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.


kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe

A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy