Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 583 - równanie okręgu


Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=4
h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}
r=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}
x_s=\frac{1+5}{2}=3
y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}
(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\\ (x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Okrąg opisany na trójkącie

Równanie okręgu o środku O=(x_s, y_s) i promieniu r jest dane wzorem:

(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2

Musimy więc znaleźć współrzędne środka okręgu oraz jego promień. Ponieważ mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym, środek okręgu dzieli wysokość trójkąta na trzy równe części, więc:

r=\frac{2}{3}h

Wysokość trójkąta można wyznaczyć, znając długość boku. Długość boku można obliczyć na podstawie wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:

|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Mamy więc dla punktów A i B:

A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\\ a=4\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4=2\sqrt{3}

a następnie promień:

r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}

Aby wyznaczyć współrzędne środka okręgu posłużymy się wiedzą na temat środka okręgu opisanego na trójkącie, który leży na przecięciu się symetralnych boków trójkąta. Zatem współrzędna x środka okręgu jest taka sama jak współrzędna x środka odcinka AB. Środek odcinka wyznaczonego przez punkty w układzie współrzędnych obliczamy ze wzoru:

x_s=\frac{x_A+x_B}{2}

Mamy więc:

x_s=x_O=\frac{1+5}{2}=3

Środek okręgu leży o 1/3 wysokości nad podstawą trójkąta AB, która leży na prostej y=1. Współrzędna y środka okręgu spełnia więc zależność:

y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}

Mamy już wszystkie dane, aby napisać równanie okręgu:

(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\\ (x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16\cdot 3}{9}=\frac{16}{3}

ksiązki Odpowiedź

(x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}

© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1112


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.