Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 592 - obliczyć pole elipsy


Dany jest okrąg o równaniu x^2+y^2=4. Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

P_k=\pi a^2=4\pi
P_e=\pi ab=2\pi b\\ P_e=\frac{1}{2}P_k=2\pi\\ 2\pi b=2\pi /:2\pi\\  b=1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie okręgu o środku O(xs,ys) ma następującą postać:

(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2

W naszym przypadku mamy więc:

x^2+y^2=4\\ (x-0)^2+(y-0)^2=2^2\\ x_s=0, \ y_s=0, \ r=2

Równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie O(0,0) (początek układu współrzędnych) i promieniu r=0. Półoś wielka a=r=2. Oznaczmy półoś małą elipsy przez b. Jest to wielkość szukana. Sporządzamy szkic:

Elipsy

Pole elipsy obliczamy ze wzoru:

P_e=\pi ab

gdzie a,b to długości półosi elipsy.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

P_k=\pi r^2

Z warunków zadania wiemy, że a=r, obliczamy więc pole koła:

P_k=\pi r^2=\pi a^2=\pi \cdot 2^2=4\pitło

Wiemy, że pole elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła. Obliczamy pole powierzchni elipsy:

a=2\\ P_e=\pi ab=2\pi b\\ P_e=\frac{1}{2}P_k=\frac{1}{2}\cdot 4\pi=2\pi\\ 2\pi b=2\pi /:2\pi\\  b=1 tło tło tło tło tło

ksiązki Odpowiedź

b=1

© Media Nauka, 2011-01-22


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy