Zadanie - obliczyć pole elipsy

Treść zadania:

Dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2=4\). Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie okręgu o środku \(O(x_s,y_s)\) ma następującą postać:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

W naszym przypadku mamy więc:

\(x^2+y^2=4\)

\((x-0)^2+(y-0)^2=2^2\)

\(x_s=0, \ y_s=0, \ r=2\)

Równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie \(O(0,0)\) (początek układu współrzędnych) i promieniu \(r=0\). Półoś wielka \(a=r=2\). Oznaczmy półoś małą elipsy przez \(b\). Jest to wielkość szukana. Sporządzamy szkic:

Elipsy

Pole elipsy obliczamy ze wzoru:

\(P_e=\pi ab\)

gdzie \(a,b\) to długości półosi elipsy.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

\(P_k=\pi r^2\)

Z warunków zadania wiemy, że \(a=r\), obliczamy więc pole koła:

\(P_k=\pi r^2=\pi a^2=\pi \cdot 2^2=4\pi\)tło

Wiemy, że pole elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła. Obliczamy pole powierzchni elipsy:

\(a=2\)

\(P_e=\pi ab=2\pi b\)

\(P_e=\frac{1}{2}P_k=\frac{1}{2}\cdot 4\pi=2\pi\)

\(2\pi b=2\pi /:2\pi\\ b=1\)

ksiązki Odpowiedź

\(b=1\)

© medianauka.pl, 2011-01-22, ZAD-1121

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.

Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu \(2x^2+3y^2=6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu \(6\pi\) i osi wielkiej elipsy o długości 6.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.