Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 594 - trójkąt w układzie współrzędnych


Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Trójkąt
A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}
y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x
\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}
C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Trójkat w układzie współrzędnych

Szukamy długości wysokości h. Wysokość leży na prostej b, która jest prostopadła do prostej a zawierającej podstawę AB trójkąta. Znając współrzędne punktu D, który jest punktem wspólnym obu prostych (wystarczy rozwiązać układ równań) obliczymy odległość między punktami C, D, która jest równa długości wysokości.

Szukamy równania prostej a. Korzystamy z równania prostej:

y=ax+b

Dane są współrzędne punktów A i B, więc:

A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 1+b\\ 0=a\cdot (-1)+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}\\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} tło tło tło tło tło tło tło tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera wysokość. Ponieważ proste a i b są prostopadłe do siebie, ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie przeciwne i odwrotne:

a=-\frac{1}{a_1}

Korzystając z tego, jak również z danych współrzędnych punktu C, otrzymujemy:

y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2\cdot 1+b_1\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x

Rozwiązujemy układ równań obu prostych, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu D:

\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{5})\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}\\ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})

Odległość między dwoma punktami A=(xA,yA) i B=(xB,yB) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

Korzystamy z powyższego wzoru:

C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{5}{5}+\frac{1}{5})^2+(\frac{10}{5}+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\\ =\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{144}{25}}=\\ =\sqrt{\frac{180}{25}}=\sqrt{\frac{36\cdot 5}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Odpowiedź

h=\frac{6\sqrt{5}}{5}

© Media Nauka, 2011-01-23

Zadania podobne

kulkaZadanie 595 - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).


kulkaZadanie 596 - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.


kulkaZadanie 598 - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.


kulkaZadanie 599 - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.


kulkaZadanie 601 - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.


kulkaZadanie 602 - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.


kulkaZadanie 609 - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?


kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2


kulkaZadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy