Nauka » Matematyka » Trójkąt równoboczny

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Treść zadania:

Dane są punkty $A=(1,1), B=(4,-2)$. Znajdź punkt $C$, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego $ABC$.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic.

Widać, że mamy dwa takie trójkąty, które spełniają warunki zadania. Przyjmujemy następujący plan rozwiązania zadania. Możemy obliczyć długość boku trójkąta, który jest jednocześnie promieniem okręgu, na którym leży punkt $C$. Punkt $C$ leży także na symetralnej podstawy trójkąta AB (gdyż mamy do czynienia z trójkątem równobocznym). Rozwiązując układ równań okręgu i symetralnej znajdziemy punkty wspólne - współrzędne punktów $C_1$oraz $C_2$

Szukamy długości boku trójkąta. Skorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów $A=(x_A, y_A) i B=(x_B, y_B)$ w układzie współrzędnych

$|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)$

$|AB|=\sqrt{(1-4)^2+(1+2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{2\cdot 9}=3\sqrt{2}$

Aby znaleźć symetralną podstawy trójkąta musimy znaleźć środek $S=(x_S,y_S)$ odcinka $\overline{AB}$. Korzystamy ze wzorów:

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}$

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$

Środek podstawy trójkąta oznaczyliśmy literą $D$. Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)$

$x_D=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$

$y_D=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

Aby znaleźć równanie symetralnej warto skorzystać z tego, że symetralna jest prostopadła do prostej zawierającej podstawę trójkąta, której równanie możemy łatwo znaleźć (podstawiamy do równania kierunkowego prostej współrzędne punktów $A$ i $B$):

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases} 1=a\cdot 1+b\\ -2=4\cdot a+b \end{cases}\\ \underline{- \ \begin{cases} 1=a+b\\ -2=4a+b \end{cases}}\\ 1-(-2)=a-4a\\ 3=-3a/:(-1)\\ a=-1\\ 1=a+b\\ 1=-1+b\\ b=2\\ y=-x+2$

Powyższe równanie prostej zawierającej podstawę trójkąta wyznaczyliśmy po to, żeby od razu zapisać współczynnik kierunkowy symetralnej, gdyż między współczynnikami kierunkowymi dwóch prostych prostopadłych zachodzi związek:

$a_1=-\frac{1}{a}$

Jeżeli równanie symetralnej oznaczymy przez $y=a_1x+b_1$, to mamy:

$a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-1}=1$

$y=x+b_1$

Teraz przydadzą nam się współrzędne punktu D, przez który przechodzi symetralna. Dzięki temu wyznaczymy współczynnik $b_1$:

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

$y=x+b_1$

$-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+b_1$

$-b_1=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}$

$-b_1=\frac{6}{2}=3/:(-1)$

$b_1=-3$

$y=x-3$

Otrzymaliśmy pierwsze z szukanych równań. Pora na równanie okręgu, o którym pisaliśmy na początku. Zauważ, że Okrąg o promieniu $AB$ przecina symetralną w szukanych punktach $C$. Okrąg o środku $S=(x_S, y_S)$ i promieniu r opisuje równanie:

$(x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2$

W naszym przypadku środkiem okręgu jest punkt $A$:

$r=|\overline{AB}|=3\sqrt{2}$

$A=(1,1)$

$(x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt{2})^2$

$(x-1)^2+(y-1)^2=18$

Rozwiązujemy więc układ równań:

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=18\\ y=x-3 \end{cases}$

$(x-1)^2+(x-3-1)^2=18$

$(x-1)^2+(x-4)^2=18$

$x^2-2x+1+x^2-8x+16-18=0$

$2x^2-10x-1=0$

$a=2, \ b=-10, c=-1$

$\Delta=b^2-4ac=100+8=108$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10-6\sqrt{3}}{4}=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}\approx -0,1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10+6\sqrt{3}}{4}= \frac{5+3\sqrt{3}}{2}\approx 5,1$

$y=x-3$

$y_1=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}$

$y_2=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$

$y_1\approx -3,1$

$y_2\approx 2,1$

Odpowiedź

$C_1=(\frac{5+3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+3\sqrt{3}}{2}),$

$C_2=(\frac{5-3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-3\sqrt{3}}{2})$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Na trójkącie równobocznym o boku $a=1$ opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W trójkąt równoboczny o boku długości $a=1$ wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku $a$. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe $\frac{4\sqrt{3}}{9}$. Obwód tego trójkąta jest równy

A. 4

B. 2

C. $\frac{4}{3}$

D. 2/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $6\sqrt{3}$. Pole tego trójkąta jest równe

A. $3\sqrt{3}$

B. $4\sqrt{3}$

C. $27\sqrt{3}$

D. $36\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.