Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 605 - trójkąt prostokątny


W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 2\sqrt{2}opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x=2y\\ h=\sqrt{xy}\\ 2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\\ y=2\\ x=4\\ c=6
a^2=x^2+h^2\\ a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\\ a=2\sqrt{6}
b^2=y^2+h^2\\ b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\\ b^2=12\\ b=2\sqrt{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Trójkąt prostokątny

Wiemy z treści zadania, że jeden z odcinków podstawy jest dwa razy dłuższy od drugiego:

x=2y

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

h=\sqrt{xy}\\ h=2\sqrt{2}\\ 2\sqrt{2}=sqrt{2y\cdot y}\\ 2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\\ 2\sqrt{2}=y\sqrt{2}/:\sqrt{2}\\ y=2\\ x=4

Możemy więc obliczyć długość podstawy:

c=x+y\\ c=2+4\\ c=6

Znając długości x oraz y, możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczyć długości a oraz b, gdyż wysokość dzieli nasz trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Zatem zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

a^2=x^2+h^2\\ a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\\ a^2=16+4\cdot 2\\ a^2=24\\ a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}

Dla drugiego trójkąta:

b^2=y^2+h^2\\ b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\\ b^2=4+4\cdot 2\\ b^2=12\\ b=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}

ksiązki Odpowiedź

a=2\sqrt{6}, \ b=2\sqrt{3}, \ c=6

© Media Nauka, 2011-02-07

Zadania podobne

kulkaZadanie 582 - okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.


kulkaZadanie 599 - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.


kulkaZadanie 600 - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.


kulkaZadanie 604 - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.


kulkaZadanie 606 - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.


kulkaZadanie 607 - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \sqrt{10}


kulkaZadanie 608 - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.


kulkaZadanie 610 - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.


kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe

A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy