Zadanie - twierdzenie Pitagorasa
Treść zadania:
Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie zadania
Szkic ułatwi zapisanie równania.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych
Z warunków zadania wynika, że pole mniejszego kwadratu ma być równe \(\frac{1}{4}\) pola kwadratu przeciwprostokątnej (pola zakreskowane). Możemy to zapisać:
\(a^2=\frac{1}{4}c^2\)
\(a=\frac{c}{2}\)
Podstawiamy powyższe równanie do równania z twierdzenia Pitagorasa:
\(\frac{1}{4}c^2+b^2=c^2\)
\(b^2=c^2-\frac{1}{4}c^2\)
\(b^2=\frac{3}{4}c^2\)
\(b=\sqrt{\frac{3}{4}c^2}\)
\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c\)
Aby podać przykład dowolnego trójkąta, który spełnia warunki zadania, możemy obrać dowolną wartość \(c\) i obliczyć pozostałe długości boków. Na przykład:
\(c=2\)
\(a=\frac{c}{2}=1\)
\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}\)
Jest to tylko jedno z możliwych rozwiązań, których jest nieskończenie wiele.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1143
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).
Zadanie nr 2.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 3.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 6.
Dane są kwadraty o polach \(\frac{1}{4}\) oraz \(\frac{1}{9}\). Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?
Zadanie nr 7.
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).
Zadanie nr 8.
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A. 60 000 PLN
B. 50 000 PLN
C. 50 000 PLN
D. 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość 13, a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa
A. \(\sqrt{34}\)
B. \(\frac{13}{4}\)
C. \(2\sqrt{14}\)
D. \(3\sqrt{45}\)