Zadanie - twierdzenie Pitagorasa
Treść zadania:
Dane są kwadraty o polach \(\frac{1}{4}\) oraz \(\frac{1}{9}\). Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Pole kwadratu możemy potraktować, jako kwadraty poszczególnych boków trójkąta. Mamy tutaj trzy możliwe przypadki, w których boki danych kwadratów wyznaczają różne boki trójkąta. Oznaczmy jedno z pól (kwadratów) przez \(a^2=\frac{1}{4}\), drugie przez \(b^2=\frac{1}{9}\). Szukany kwadrat, to \(c^2\)
Przypadek 1
Dane kwadraty leżą na przyprostokątnych trójkąta. Szukamy kwadratu przeciwprostokątnej.
\(a^2+b^2=c^2\)\
\(frac{1}{4}+\frac{1}{9}=c^2\)
\(c^2=\frac{9}{36}+\frac{4}{36}\)
\(c^2=\frac{13}{36}\)
Przypadek 2
Jeden kwadrat dany leży na przyprostokątnej trójkąta, drugi na przeciwprostokątnej. Szukamy kwadratu drugiej przyprostokątnej.
\(a^2+c^2=b^2\)
\(\frac{1}{4}+c^2=\frac{1}{9}\)
\(c^2=\frac{1}{9}-\frac{1}{4}\)
\(c^2=-\frac{5}{36}\)
Ponieważ kwadrat liczby nie może być liczbą ujemną, przypadek nie ma rozwiązania.
Przypadek 3
Jeden kwadrat dany leży na drugiej przyprostokątnej trójkąta, drugi na przeciwprostokątnej. Szukamy kwadratu pierwszej przyprostokątnej.
\(b^2+c^2=a^2\)
\(\frac{1}{9}+c^2=\frac{1}{4}\)
\(c^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\)
\(c^2=\frac{5}{36}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1144
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).
Zadanie nr 2.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 3.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 6.
Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 7.
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).
Zadanie nr 8.
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A. 60 000 PLN
B. 50 000 PLN
C. 50 000 PLN
D. 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość 13, a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa
A. \(\sqrt{34}\)
B. \(\frac{13}{4}\)
C. \(2\sqrt{14}\)
D. \(3\sqrt{45}\)