Nauka » Matematyka » Kwadrat

Zadanie - kwadrat, przekątna kwadratu

Treść zadania:

W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Szukamy odległości \(x\). Zauważamy, że \(x\) jest różnicą połowy przekątnej dużego kwadratu (oznaczmy przekątną dużego kwadratu przez \(d_1\) i połowy przekątnej małego kwadratu (oznaczmy przekątną mniejszego kwadratu przez \(d_2\)):

\(x=\frac{d_1}{2}-\frac{d2}{2}=\frac{d_1-d_2}{2}\)

Przekątna kwadratu wyrażona jest wzorem:

\(d=a\sqrt{2}\)

gdzie \(a\) jest długością boku kwadratu. (Wzór ten można wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa.) Mamy więc dla dużego kwadratu:

\(d_1=20\sqrt{2}\)

Wiemy też, że pole małego kwadratu jest dwa razy mniejsze niż dużego. Pole kwadratu o boku \(a\) wyraża się wzorem:

\(P=a^2\)

Pole dużego kwadratu oznaczamy przez \(P_1\), małego przez \(P_2\). Mamy więc:

\(P_2=b^2=\frac{P_1}{2}\)

\(b^2=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\)

\(b=\sqrt{200}=\sqrt{2\cdot 100}=10\sqrt{2}\)

Mając daną długość boku mniejszego kwadratu możemy znaleźć łatwo długość przekątnej:

\(d_2=b\sqrt{2}=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=20\)

Mamy wszystkie dane, aby obliczyć szukaną wartość:

\(x=\frac{d_1-d_2}{2}=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{2}=10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10\)

Odpowiedź

\(x=10\sqrt{2}-10\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Punkty \(A=(−4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość

A. \(4\sqrt{10}\)

B. \(4\sqrt{2}\)

C. \(4\sqrt{5}\)

D. \(4\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.