Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 734 - tożsamości trygonometryczne


Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}+\frac{\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\\ =\frac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\frac{1}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=Ptło tło

Skorzystaliśmy tutaj dodatkowo (fragment zaznaczony na żółto ze wzoru jedynkowego)

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}-\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}}-\frac{\sin{\beta}\cdot \cos{\alpha}}{\cos{\beta}\cdot \cos{\alpha}}=\\ =\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=P tło tło

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

oraz wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=(\sin^2{\alpha})^2-(cos^2{\alpha})^2=(\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})(\sin^2{\alpha}+cos^2{\alpha})=\\ (\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})\cdot 1=\sin^2{\alpha}-(1-\sin^2{\alpha})=\sin^2{\alpha}-1+\sin^2{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1=P tło tło tło tło

Dwa razy zastosowano tutaj wzór jedynkowy (zaznaczono to kolorami)

© Media Nauka, 2011-03-28


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy