Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Treść zadania:
Udowodnić tożsamość: \(tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy najpierw ze wzoru:
Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:
\(L=tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{tg{45^o}-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{45^o}tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\)
W ułamku mamy do czynienia z tangensem połowy kata. Możemy tangens występujący poza ułamkiem wyrazić w podobny sposób:, a następnie skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kata:
Mamy więc:
\(=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{(2\cdot \frac{x}{2})}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\)
Sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez \(1-tg{\frac{x}{2}}\), a następnie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Mamy więc:
\(=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})\cdot (1-tg{\frac{x}{2}})}{(1+tg{\frac{x}{2}})(1-tg{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{(1-tg{\frac{x}{2})}^2}{(1^2-tg^2{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\)
\(=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1^2-2tg{\frac{x}{2}}+tg^2{\frac{x}{2}}+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\)
Teraz skorzystamy ze wzoru:
I wykonamy działania w liczniku i mianowniku, korzystając także z jedynki trygonometrycznej (\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\),
\(=\frac{1+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{1-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}=\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\cos{(2\cdot{\frac{x}{2}})}}=\frac{1}{\cos{x}}=P\)
W ostatnim kroku skorzystano ze wzoru:
© medianauka.pl, 2011-03-29, ZAD-1278
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Wiedząc, że \(\sin{x}=0,2\) oblicz \(\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć
a) \(\sin{75°}+\sin{15°}\)
b) \(\cos{75°}+\cos{15°}\)
c) \(\sin{75°}-\sin{15°}\)
d) \(\cos{75°}-\cos{15°}\)
Zadanie nr 5.
Udowodnić tożsamość:
a) \(tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
b) \(tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}\)
c) \(\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1\)
Zadanie nr 6.
Udowodnić tożsamość:
a) \(tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}\)
b) \(\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}\)
c) \(\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}\)
Zadanie nr 7.
Udowodnić tożsamość:
a) \(\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\)
b) \(tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1\)
c) \(\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)\)
d) \(tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}\)
e) \(\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dla każdego kąta ostrego α iloczyn \(\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}\) jest równy
A. \(\sin{\alpha}\)
B. \(tg\alpha\)
C. \(\cos{\alpha}\)
D. \(\sin^2{\alpha}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Jeżeli \(0°<\alpha <90°\) oraz \(tg\alpha=2\sin{\alpha}\), to:
A. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
B. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\cos{\alpha}=1\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}-5\cos{\alpha}}\) jest równa:
A. \(-\frac{11}{23}\)
B. \(\frac{24}{5}\)
C. \(-\frac{23}{11}\)
D. \(\frac{5}{24}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin{\alpha}+3\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Różnica \(\cos^2{165°} − \sin^2{165°}\) jest równa
A. \(-1\)
B. \(-\frac{3}{2}\)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin{2\alpha}\).
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\) jest równe:
A. \(\sin^2{\alpha}\)
B. \(\sin^6{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\)
C. \(\sin^4{\alpha}+1\)
D. \(\sin^2{\alpha}\cdot (\sin{\alpha}+\cos{\alpha})\cdot (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})\)