Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 740 - tożsamości trygonometryczne


Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy najpierw ze wzoru:

tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{tg{45^o}-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{45^o}tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=

W ułamku mamy do czynienia z tangensem połowy kata. Możemy tangens występujący poza ułamkiem wyrazić w podobny sposób:, a następnie skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kata:

tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}

Mamy więc:

=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{(2\cdot \frac{x}{2})=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=

Sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez (1-tg{\frac{x}{2}), a następnie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Mamy więc:

=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})\cdot (1-tg{\frac{x}{2}})}{(1+tg{\frac{x}{2}})(1-tg{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2}{(1^2-tg^2{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\\ =\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1^2-2tg{\frac{x}{2}}+tg^2{\frac{x}{2}}+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=

Teraz skorzystamy ze wzoru:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

I wykonamy działania w liczniku i mianowniku, korzystając także z jedynki trygonometrycznej (\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1), - fragment zaznaczono kolorem żółtym:

=\frac{1+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{1-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}=\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\cos{(2\cdot{\frac{x}{2}})}}=\frac{1}{\cos{x}}=P tło tło tło tło

W ostatnim kroku (kolor niebieski) skorzystano ze wzoru:

\cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}

© Media Nauka, 2011-03-29


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy