Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 741 - tożsamości trygonometryczne


Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Mnożymy licznik i mianownik lewej strony równania przez (1-\cos{x}). Mamy więc:

?L=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{(1+\cos{x})(1-\cos{x})}=\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{1^2-\cos^2{x}}=\\ =\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{\sin^2{x}+\cos^2{x}-\cos^2{x}}=\frac{\cancel{\sin{x}}\cdot (1-\cos{x})}{\sin^{\cancel{2}}{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}=P tło tło

Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, dla których zastosowano jedynkę trygonometryczną:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P. Skorzystamy ze wzorów:

tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}

Pamiętając, że tg{45^o}=1 otrzymujemy:

L=tg(45^o+x)tg(45^o-x)=\frac{tg{45^o}+tg{x}}{1-tg{45^o}tg{x}}\cdot \frac{tg{45^o}-tg{x}}{1+tg{45^o}tg{x}}=\frac{\cancel{1+tg{x}}}{\cancel{1-tg{x}}}\cdot \frac{\cancel{1-tg{x}}}{\cancel{1+tg{x}}}=1=P

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania P w lewą stronę równania L. Skorzystamy ze wzoru:

\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}

Pamiętając, że \sin{45^o}=\cos{45^o}=\frac{\sqrt{2}}{2} otrzymujemy:

P=\sqrt{2}\sin(45^o+x)=\sqrt{2}(\sin{45^o}\cos{x}+\cos{45^o}\sin{x})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{x})=\\=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\cos{x}+\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\sin{x})=\frac{2}{2}\cos{x}+\frac{2}{2}\sin{x}=\sin{x}+\cos{x}=L

ksiązki d) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania L w lewą stronę równania P. Skorzystamy ze wzorów:

tg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctg{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\\ \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\\ \sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Otrzymujemy:

L=tg{x}+ctg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\\=\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sin{2x}}=P

ksiązki e) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania P w lewą stronę równania L. Skorzystamy ze wzoru:

tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}

Pamiętając, że tg{45^o}=1 otrzymujemy:

P=tg(45^o+x)=\frac{tg{45^o}+tg{x}}{1-tg{45^o}tg{x}}=\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=L

© , 2011-03-29


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy