Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 761 - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}=1\\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie tak, aby doprowadzić je do postaci równania lub równań trygonometrycznych elementarnych. Skorzystamy w pierwszej kolejności z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}

Otrzymujemy

1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0

Iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub oba są równe zeru. Mamy więc:

\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ lub \ \cos{x}=1

Otrzymaliśmy dwa równania trygonometryczne elementarne. Pamiętamy, że rozwiązaniem podstawowym równania cosx=a (-1<a<1)są kąty \alpha, \ -\alpha, rozwiązanie ogólne jest następujące:

(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C

Dla równania cosx=1 rozwiązania podstawowe są sobie równe (cos0=1, 0=-0)

Dla równania cosx=0 rozwiązanie podstawowe to kąty \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2},\ (\cos{\frac{\pi}{2}}=0)

Mamy więc rozwiązanie ogólne:

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C

© Media Nauka, 2011-06-04


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy