Zadanie - równanie trygonometryczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\)

Otrzymujemy:

\(2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\)

\(2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0\)

Stosujemy podstawienie:

\(u=\sin{x}\)

\(2-2u^2+3u=0\)

\(-2u^2+3u+2=0\)

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

\(\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\)

\(\sqrt{\Delta}=5\)

\(u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\)

\(u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)

Wracamy do zmiennej \(x\) i otrzymujemy pierwsze równanie:

\(\sin{x}=2\)

\(x\in ∅\)

Równanie to nie ma rozwiązania, bo \(2 \notin <-1,1>\).

Otrzymujemy także drugie równanie:

\(u=-\frac{1}{2}\)

\(\sin{x}=-\frac{1}{2}\)

Wiemy, że \(\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\). Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\(\sin{(-x)}=-\sin{x}\)

Zatem \(\sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\). Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

\(\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)

czyli\(-\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}\)

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: \(x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}\)

Rozwiązanie ogólne:

\(x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\)

ksiązki Odpowiedź

\(x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\)

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.