Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 768 - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0
u=\sin{x}\\ -2u^2+3u+2=0
\Delta=25\\ u_1=2\notin <-1,1>\\ u_2=-\frac{1}{2}
\sin{x}=-\frac{1}{2}
x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Otrzymujemy:

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0

Stosujemy podstawienie:

u=\sin{x}\\ 2-2u^2+3u=0\\ -2u^2+3u+2=0

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\\ u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}

Wracamy do zmiennej x i otrzymujemy pierwsze równanie:

\sin{x}=2\\ x\in \empty

Równanie to nie ma rozwiązania, bo 2 \notin <-1,1>.

Otrzymujemy także drugie równanie:

u=-\frac{1}{2}\\ \sin{x}=-\frac{1}{2}

Wiemy, że \sin{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}. Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\sin{(-x)}=-\sin{x}

Zatem \sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\. Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}

czyli -\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}

Rozwiązanie ogólne:

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.