Zadanie - wariancja i odchylenie standardowe
Treść zadania:
W pewnej populacji rodzin wykonano ankietę badającą miesięczne średnie wydatki rodziny na kulturę. Wyniki przedstawia tabela:
| Średnia wysokość wydatku na kulturę | Liczba rodzin |
| 0 zł | 2 |
| 50 zł | 15 |
| 100 zł | 158 |
| 150 zł | 52 |
| 200 zł | 48 |
| 250 zł | 12 |
| 300 zł | 3 |
a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę.
b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę.
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.
Rozwiązanie zadania
a) Wyznaczamy średnią wysokość wydatków na kulturę wśród ankietowanych rodzin:
Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną:
W pierwszej kolejności musimy określić liczbę ankietowanych n. Sumujemy więc liczby z drugiej kolumny i uzyskujemy wynik: \(n=2+15+158+52+48+12+3=290\)
Z tabeli wynika, że dwie rodziny wydają 0 zł, piętnaście rodzin wydaje 50 zł, 158 rodzin wydaje po 100 zł i tak dalej. Zamiast pisać 0+0 piszemy 2·0, zamiast 50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50 piszemy 15·50 i tak dalej, więc skrócimy nieco nasz zapis:
\(\overline{x}=\frac{2\cdot 0+15\cdot 50+158\cdot 100+52\cdot 150+48\cdot 200+12\cdot 250+3\cdot 300}{290}=\frac{37850}{290}=130,51\approx 130\)
Zatem średni miesięczny wydatek rodziny ankietowanej na kulturę wynosi 130 zł
b) Wyznaczamy medianę miesięcznych wydatków na kulturę
Korzystamy ze wzoru na medianę:
\(M=\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}}\ - \ dla\ n \ nieparzystego\\\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\ - \ dla \ n \ parzystego \end{cases}\)
Ponieważ \(n=290\), mamy do czynienia z liczbą parzystą. Korzystamy więc z drugiego wzoru:
\(M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})= \frac{1}{2}(x_{\frac{290}{2}}+x_{\frac{290}{2}+1})= \frac{1}{2}(x_{145}+x_{146})=\)
Jak znaleźć \(x_145\)i \(x_146\)? Przede wszystkim dane statystyczne muszą być uszeregowane niemalejąco. w tabeli dane mamy już ułożone w ten sposób. Pierwsze dwie dane są równe 0, kolejne 15 są równe 50 zł (to już 17 danych statystycznych), kolejne 158 danych mają wartość 100 zł... Zatem 145-ty wyraz tego ciągu jest równy 100 zł, podobnie jak 146-ty wyraz tego ciągu danych statystycznych. Możemy więc zapisać:
\(=\frac{1}{2}(x_{145}+x_{146})=\frac{1}{2}(100\ zl+100\ zl)=100\ zl\)
Wynik możemy zinterpretować następująco: połowa rodzin wydaje na kulturę nie więcej niż 100 zł i połowa wydaje na ten sam cel nie mniej niż 100 zł.
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.
Obliczamy wariancję ze wzoru:
\(\sigma^2=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+...+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}\)
Średnią arytmetyczną wyznaczyliśmy w podpunkcie a), wartości \(n\) oraz \(x\) odczytujemy z tabeli i wstawiamy do wzoru:
\(\sigma^2=\frac{2(0-130)^2+15(50-130)^2+158(100-130)^2+52(150-130)^2}{290}+... \)
\(...+\frac{48(200-130)^2+12(250-130)^2+3(300-130)^2}{290}=\)
\(=\frac{2\cdot 130^2+15\cdot 80^2+158\cdot 30^2+52\cdot 20^2+48\cdot 70^2+12\cdot 120^2+3\cdot 170^2}{290}=\)
\(=\frac{2\cdot 16900+15\cdot 6400+158\cdot 900+52\cdot 400+48\cdot 4900+12\cdot 14400+3\cdot 28900}{290}=\)
\(=\frac{33800+96000+142200+20800+235200+172800+86700}{290}=\frac{787500}{290}=2715,5\)
Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:
\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)
Mamy więc:
\(\sigma=\sqrt{2715,5}=52,1\)
Odpowiedź
\(\overline{x}= 130\ zl, \ M=100\ zl,\)
\(\sigma^2=2715,5,\ \sigma=52,1\)
© medianauka.pl, 2011-09-06, ZAD-1436
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
W zestawie \(2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4\) liczb jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)) , w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D. \(\sqrt{2}\)