zadanie

Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)


Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°, wprowadzamy oznaczenia: jeżeli kąt |∠ACB|=α, to |∠CBA|=180°-90°-α=90°-α. Spójrzmy na rysunek.


Z cechy podobieństwa kkk trójkatów wiemy, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli dwa kąty w tych trójkątach mają równe miary. Mamy więc:

1) Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ACB|=|∠DCE|=α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

2) Trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ABC|=|∠FBG|=90°-α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

3) Trójkąt CED jest podobny do GBF z przechodniości relacji podobieństwa (skoro trójkąt t1 jest podobny do t3 i trójkąt t2 jest podobny do t3, to trójkąt t1 jest podobny do t2), co należało dowieść.

© CKE, 2016-11-01

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
zadanie maturalne 16/2016

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10