Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 2 - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie


Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}


książka Rozwiązanie zadania uproszczone

\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=\frac{-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=
\Large =\frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}-\frac{3 \cdot 3x^{\frac{1}{4}}}{2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}}=
\Large =\frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{6x}-\frac{9x^{\frac{1}{4}}}{6x}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}

książka Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami, trudniej wówczas o pomyłkę

Mamy następujące wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}} tło

tło Etap I

Pozbywamy się nawiasów, mnożąc przez siebie wszystkie elementy.
(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)=x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1= \\ =1-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}
Wstawiamy uzyskany wynik do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

\Large \frac{-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}} tło

Etap II

Mamy do czynienia z różnicą ułamków o różnych mianownikach. Zgodnie z zasadami działań na ułamkach musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Wystarczy licznik i mianownik jednego ułamka pomnożyć przez mianownik drugiego.

\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}-\frac{3 \cdot 3x^{\frac{1}{4}}}{2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}} tło tło tło tło

W mianowniku mamy działanie na potęgach. Zgodnie ze wzorem

a^n \cdot a^m = a^{m+n}


mamy
2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}=6x^{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})}=6x^1=6x

Upraszczając jednocześnie wyrażenie w liczniku drugiego ułamka otrzymujemy:

\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{6x}-\frac{9x^{\frac{1}{4}}}{6x} tło


Etap III

Teraz wykonujemy działania w liczniku pierwszego z ułamków, korzystając ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach (przytoczono wyżej).
(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}=-2x^{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}+2x^{(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}=-2x+2x^{\frac{1}{2}}

Podstawiając powyższy wynik do naszego wyrażenia i zapisując wszystko na wspólnej kresce ułamkowej otrzymujemy:

\Large \frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}


Jest to rozwiązanie naszego zadania.

książka Odpowiedź

\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}

© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-378


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.