Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie

Treść zadania:

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)


książka Rozwiązanie zadania

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami, trudniej wówczas o pomyłkę.

Mamy następujące wyrażenie:

\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)

Etap I

Pozbywamy się nawiasów, mnożąc przez siebie wszystkie elementy.

\((x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)=x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=\)

\(=1-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}\)

Wstawiamy uzyskany wynik do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

\(\Large \frac{-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)

Etap II

Mamy do czynienia z różnicą ułamków o różnych mianownikach. Zgodnie z zasadami działań na ułamkach musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Wystarczy licznik i mianownik jednego ułamka pomnożyć przez mianownik drugiego.

\(\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}-\frac{3 \cdot 3x^{\frac{1}{4}}}{2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}}\)

W mianowniku mamy działanie na potęgach. Zgodnie ze wzorem

\(a^n\cdot a^m=a^{m+n}\)

Mamy:

\(2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}=6x^{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})}=6x^1=6x\)

Upraszczając jednocześnie wyrażenie w liczniku drugiego ułamka otrzymujemy:

\(\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{6x}-\frac{9x^{\frac{1}{4}}}{6x}\)

Etap III

Teraz wykonujemy działania w liczniku pierwszego z ułamków, korzystając ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach (przytoczono wyżej).

\((-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}=-2x^{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}+2x^{(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}=-2x+2x^{\frac{1}{2}}\)

Podstawiając powyższy wynik do naszego wyrażenia i zapisując wszystko na wspólnej kresce ułamkowej otrzymujemy:

\(\Large \frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}\)

Jest to rozwiązanie naszego zadania.

książka Odpowiedź

\(\frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}\)

© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-378

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:

\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz:

\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz wartość wyrażenia:

\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:

A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)

B. \(-\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{3}{5}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(3\)

D. \(17\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.