Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 13 - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz


Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}


książki Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{2^3\cdot 2^2}=\sqrt[6]{32}

II sposób

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{32}

książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

Skorzystamy jedynie z własności działań na pierwiastkach. Mamy iloczyn dwóch pierwiastków w różnych stopniach (drugim i trzecim). Aby wykonać mnożenie musimy sprowadzić oba pierwiastki do tego samego stopnia. Skorzystamy w tym celu z dwóch wzorów:

\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0

Zgodnie z pierwszym (rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[3]{2^3}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4} tło tło tło tło

Możemy teraz przystąpić do obliczenia naszego iloczynu:

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\cdot \sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{8\cdot 4}=\sqrt[6]{32} tło

Kolorem fioletowym zaznaczono fragment obliczeń, w którym wykorzystano inną własność działań na pierwiastkach:

\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}

książki Odpowiedź

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}

II sposób

Skorzystamy tutaj z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{6}}\cdot 2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}=2^{\frac{5}{6}} tło tło

Kolorem fioletowym zaznaczono obliczenia, w których wykorzystano wzór:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Teraz z powrotem zamienimy potęgę na pierwiastek zgodnie z przytoczonym na wstępie tego rozwiązania wzorem oraz wzorem:

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

2^{\frac{5}{6}}=(2^5)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32} tło tło

książki Odpowiedź

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}

© Media Nauka, 2009-11-22


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy