Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 15 - działania na pierwiastkach i potęgach


Oblicz wartość wyrażenia: \sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}


książki Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}= \\ =2\sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}

II sposób

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}

książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

Skorzystamy z własności działań na pierwiastkach:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0

Zgodnie z nim możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}

Skorzystamy teraz z własności działań na potęgach oraz działań na pierwiastkach:

a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}

\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40+8}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}

Wynik można jeszcze bardziej uprościć, korzystając ze wzorów (poszczególne kroki rachunków zaznaczono odrębnymi kolorami):

\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0

\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}=2\cdot \sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2} tło tło tło tło

książki Odpowiedź

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=2\sqrt[5]{2}

II sposób

To samo zadanie można rozwiązać inaczej, gdy skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}} tło tło tło tło tło tło

W kolejnym kroku skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

(a^n)^m=a^{m\cdot n}

Teraz zastosujemy wzór:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

2^{1\frac{1}{5}}=2^{1+\frac{1}{5}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}

książki Odpowiedź

\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=2\sqrt[5]{2}

© Media Nauka, 2009-11-23


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy