Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Treść zadania:
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru:
Zgodnie z nim równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\) zachodzi wówczas, gdy \(x^2-2x+1\geq 0\). Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia, aby przekształcić lewą stronę nierówności.
\(x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0\)
Rozwiązanie nierówności kwadratowej oprzemy o wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Nasz trójmian ma jedno miejsce zerowe \(x_0=1\) (punkt przecięcia paraboli z osią \(Ox\)), współczynnik \(a=1\), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Na wykresie zaznaczamy więc wszystkie wartości większe lub równe zeru.
Z wykresu widać, że dla każdej liczby rzeczywistej x punkty paraboli leżą nad osią \(Ox\) lub leżą na niej, tzn. wartości tej funkcji są większe lub równe zero.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-394
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
