Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach Wartość bezwzględna

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia

Treść zadania:

Uprościć wyrażenie \(W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}\).

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru:

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

Zgodnie z nim otrzymujemy:

\(\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|\)

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x,\ dla\ x\geq 0\\-x,\ dla\ x <0 \end{cases}\)

Mamy tutaj do czynienia z dwoma wartościami bezwzględnymi, więc możliwe są cztery przypadki (gdy oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie, ujemne, jeden dodatni, drugi ujemny i odwrotnie).

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są większe lub równe zero.

\(\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 1

\(a\in \langle 1;+\infty)\)

Jeżeli oba wyrażenia są nieujemne, co zachodzi dla \(a\in \langle 1;+\infty )\), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną i nasze wyrażenie \(W\) przyjmuje postać:

\(W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a\)

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne.

\(\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 2

\(a\in (-\infty;-1)\)

Jeżeli oba wyrażenia są ujemne, co zachodzi dla \(a\in (-\infty;-1)\), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

\(W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a\)

Przypadek 3

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest ujemne, a drugie nieujemne.

\(\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 4

\(a\in \langle -1;1)\)

Mamy więc:

\(W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2\)

Przypadek 4

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest nieujemne, a drugie ujemne.

\(\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 5

\(a\in \emptyset\)

Nie ma takiego \(a\), dla którego pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne, więc nie musimy w tym przypadku obliczać wartości wyrażenia \(W\).

Zatem w zależności od wartości a wyrażenie W przyjmuje różne wartości:

Odpowiedź

\(\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a,\ dla\ a\in \langle1;+\infty)\\-2a,\ dla\ a\in (-\infty; -1)\\ 2,\ dla\ a\in \langle-1;1)\end{cases}\)