Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 18 - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.


Uprościć wyrażenie W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}, wiedząc, że x>-1


książki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}
=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}

Z warunków zadania wynika, że x>-1, czyli x+1>0, więc możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}

książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dodamy do siebie wszystkie składniki sumy. Wspólnym mianownikiem będzie wyrażenie x+1. Aby tak było, musimy pomnożyć licznik i mianownik dwóch pierwszych ułamków przez \sqrt{x+1} (pozbędziemy się wówczas niewymierności z mianownika).

W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} tło tło tło

Wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru:

\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}

W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}= \\ =\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} tło tło tło

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego na zielono zastosujemy wzór

\sqrt{a^2}=|a|

Dla fragmentu zaznaczonego na żółto zastosujemy wzór skróconego mnożenia.

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Otrzymamy wówczas

W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}

Z warunków zadania wynika, że x>-1, czyli x+1>0 i oznacza to, że pod wartością bezwzględną mamy cały czas wyrażenie o dodatniej wartości - możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}

książki Odpowiedź

Dla x>-1
W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}

© Media Nauka, 2009-11-26


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy